Espaces homéomorphes ou non

[COTLOD]

Bonjour,
voici mon problème :
On munit de la topologie induite. Ma question est S et sont-ils homéomorphes ?
Je pense que non mais je n'ai pas trouvé une preuve complète et rigoureuse. Si quelqu'un connait un argument simple je lui en serais reconnaissant.

[zygomatique]

salut

et pourtant je te l'ai dit ....

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-631047.html

une demi-droite n'est pas homéomorphe à une droite ....

]a, b[ est homéomorphe à R

[a, b[ est homéomorphe à [0, +oo[

[a, b[ est homéomorphe à ]a, b]

[a, b], [a, b[ et ]a, b[ ne sont pas homéomorphes


épictou ....

[jlb]

Salut, je ne garantie pas ( il faudra une confirmation!!) mais si tu enlèves l'axe {(x;0); x réel } à S et à R² . Pour S, il y a une seule composante connexe mais pas pour R²

[zygomatique]

:hein: :hein: :hein: :hein: :hein: :hein:

[Doraki]

zygomatique, quel est le rapport avec la question ?????
jlb, ok il n'y a pas d'homéomorphisme qui fixe l'axe y=0, mais ça n'avance pas le problème.

[zygomatique]

zygomatique, quel est le rapport avec la question ?????
jlb, ok il n'y a pas d'homéomorphisme qui fixe l'axe y=0, mais ça n'avance pas le problème.

voir le lien ...

[COTLOD]

à jlb, soit , et un homéomorphisme, si on enlève à , l'ensemble obtenu peut-être connexe et même simplement connexe : l'image de D peut être une demi-droite du plan.

[Doraki]

bon j'imagine que tu es carpediem

R2 est ouvert

S est fermé ....

Et R² est aussi fermé et S est aussi ouvert.
Mais tous les espaces topologiques sont à la fois fermés et ouverts donc c'est pas comme ça que tu vas montrer qu'ils ne sont pas homéomorphes.

l'application f(x, y) de ]-pi/2, pi/2[ dans R2 définie par f(x, y) = (x, tan y)

J'espère que tu veux dire de R * ]-pi/2 ; pi/2[ dans R².

]a;b[ n'est pas homéomorphe à [a;b[ mais ça ne veut pas dire que ]a;b[ * X n'est pas homéomorphe à [a;b[ * X (il y a des contre-exemples)

dans E l'ensemble {y = k} est compact ...
dans S l'ensemble {y = k} n'est pas compact ....
or l'image d'un compact par un homéomorphisme est compact

tout ce que tu fais c'est dire qu'il n'y a pas d'homéomorphisme par lequel l'image de [0;1]*{k} est [0;+linfini[*{k}.

il manque les points (x, -pi/2) et (x, pi/2) ...

ça fait plus que 2 points.
Et puis {2,3,4,5,...} est homémorphe à {0,1,2,3,...} alors qu'il lui manque 2 points donc je vois pas où tu veux en venir.

[COTLOD]

J'ai trouvé (sur un forum) la réponse à ma question. Soit un homéomorphisme, il induit donc un homéomorphisme de sur . Or le premier espace est simplement connexe et pas le second, ce qui est contradictoire.

[COTLOD]

Je salue Doraki pour ces remarques, je me sentais un peu seul aujourd'hui...

[zygomatique]

bon j'imagine que tu es carpediem



Et R² est aussi fermé et S est aussi ouvert.
Mais tous les espaces topologiques sont à la fois fermés et ouverts donc c'est pas comme ça que tu vas montrer qu'ils ne sont pas homéomorphes.


J'espère que tu veux dire de R * ]-pi/2 ; pi/2[ dans R².

]a;b[ n'est pas homéomorphe à [a;b[ mais ça ne veut pas dire que ]a;b[ * X n'est pas homéomorphe à [a;b[ * X (il y a des contre-exemples)


tout ce que tu fais c'est dire qu'il n'y a pas d'homéomorphisme par lequel l'image de [0;1]*{k} est [0;+linfini[*{k}.


ça fait plus que 2 points.
Et puis {2,3,4,5,...} est homémorphe à {0,1,2,3,...} alors qu'il lui manque 2 points donc je vois pas où tu veux en venir.

mets 2 entre des guillements .... :lol3:

avec la tan j'ai corrigé un peu plus loin ....