Espaces non sequentiellements compacts

[sososo]

Bonsoir,
je cherche à construire des suites bornées qui n'admettent pas de sous-suites convergentes dans les espaces , et avec leurs normes "naturelles".
Je n'ai aucune idée de la façon dont il faut que je m'y prenne... Et à vrai dire, ce n'est pas vraiment la réponse à cet exercice qui m'intéresse, mais plutôt la façon dont il faut s'y prendre justement.
Merci pour votre aide!

[arnaud32]

que veut dire qu'une suite converge dans l²(N)?

[girdav]

Pour le cas , on peut tenter de prendre une suite pour laquelle la norme de la différence de deux éléments distincts est uniformément minorée par une constante strictement positive. Par exemple, dont le -ième terme vaut et les autres .

[sososo]

converge vers dans ssi:
tend vers 0 quand tend vers l'infini, la norme étant la norme

[arnaud32]

tu peux par exemple construire une suite qui ne serait pas de cuachy ...

[Ben314]

Salut,
Il y a plein d'idées qui peuvent venir à l'esprit pour ce genre de contre exemple :
1) Comme ce sont des e.v. de dim infinie, on peut essayer de prendre une famille libre infinie et ça conduit à l'exemple de girdav sur l2(N)
2) On peut aussi penser à prendre une suite qui converge dans un espace plus gros que celui sur lequel on travaille : par exemple sur C[0,1] si tu peut prendre une suite de fonctions continues qui converge (simplement) vers une fonction non continue : par exemple fn nulle sur [0,1/2-1/n], égale à 1 sur [1/2+1/n,1] et affine sur [1/2-1/n,1/2+1/n].
3) Pour L2([0,1]) ça me semble plus coton du fait que c'est pas façile de faire "plus gros" et qu'il n'y a pas de famille libre "super naturelle".
La seule qui me vient à l'esprit est la famille de fonctions fn telles que fn(x)=0 lorsque E(2^n.x) est pair et fn(x)=1 lorsque E(2^n.x) est impair (où E(.) désigne la partie entière).
Calcule ||fn-fm|| pour vérifier.

[Arkhnor]

Bonsoir.

Pour (ou pour n'importe quel espace de Hilbert de dimension infinie), on peut prendre une suite orthonormale. ( par exemple ...)