Équations differentielles

[poulette-1311]

Bonjour,

J'ai mes partiels mardi matin et je suis dans les révisions de mon dernier chapitre de Calculus (c'est des maths appliquées a la physique) et je rencontre quelques problèmes pou résoudre deux exercices donc si vous pouviez m'aider..

Le premier exercice c'est (en gros parce qu'il est un peu long) : Le nombre de bactéries dans une culture n(t) croit selon la loi n'(t) = kn(t), où t est le temps donné en heures. Le taux de croissanc de la population bacterienne est p=2% par heure. A l'instant t=0, la population initiale est de 10^3 bactéries.
1. Donner l'expression n(t) en fonction de k.
2. Quel est le lien entre k et p ? Indication : calculer n(t+1) en fonction de n(t) et conclure.
3. Combien faut il de temps a la population bacterienne initiale pour décupler ?

Alors voici ce que j'ai fait :
1. J'ai résolu l'équation differentielle n'(t)-kn(t)=0 et j'ai obtenu n(t)=10^3 * exp(kt)
2. J'ai exprimé n(t+1)= 10^3 * exp(k) * n(t). J'en ai conclu que p=10^3*exp(k) mais ce n'est pas ça puisque je trouve un k négatif ensuite. (k=-10.8)
3. J'ai résolu n(t)=10^4 ave le k trouvé a la question d'avant mais je trouve t=-0.21.

Je pense donc que mon erreur vient de ma conclusion a la question 2.



Pour le deuxieme exercice je suis bloquée bien plus tôt car je ne sais pas resoudre les équations differentielles avec un forçage.. Si vous pouviez m'expliquer, j'essayerais de le faire ensuite et si je trouve encore des difficultés, je le posterai.

Merci d'avance ! :)

[WillyCagnes]

bjr
1) ok pour ton equation trouvée

2) pour N(t+1)=10^3*exp(k(t+1))

taux de croissance je prends cette formule sauf erreur de ma part

[N(t+1)-N(t)]/N(t) = [exp(k(t+1)) -exp (kt)]/ exp(kt) = 2%
on simplifie par 1000 et exp(kt) >0 la fraction

d'où exp(k) -1= 2%=0,02
exp(k)=1,02

k= Ln(1,02)=0,0198 voisin de 0,02

[Eogel]

n(t+1) = e^k * n(t) (le 10^3 rentre dans n(t))

[poulette-1311]

n(t+1) = e^k * n(t) (le 10^3 rentre dans n(t))

Ah oui, merci a vous deux, en fait, j'avais distribué le 10^3 sur les deux exponzntielle alors qu'en fait, pas du tout !

Auriez vous une réponse a m'apporter pour ma deuxieme question svp