Devoir de mathématique

[Nouille41]

Bonjour tout le monde,
J'ai un devoir de mathématiques vraiment compliqué. Je vous met le sujet ci-dessous. Je ne vous demande bien sur pas de le faire entièrement je ne conte pas faire de copier coller. Seulement il y a certaines questions qui me bloque.

Sujet du devoir

On lance verticalement une balle de tennis. La vitesse de la balle au lancement est de 20 mètres par seconde. On a réussi à établir que la hauteur h (en mètres) par rapport au sol atteinte par la balle en fonction du t en seconde) est donnée par:
H(t)=-5t²+20t+1,6

1)Calculer la hauteur de la balle au lancement, au bout de 1 seconde,puis au bout de 3 secondes ?Comment expliquer vos deux résultats? - je ne sais pas comment éxpliquer les deux résultats qui sont identiques!

2) Calculer la hauteur de la balle au bout de 10 secondes? comment expliquer ce résultat? (Je ne sais pas quoi dire pour éxpliquer le résultat)

3)Construire un tableau de valeurs de la fonction h pour t variant de 0 à 5 secondes avec un pas de 0.25 seconde. Donner des valeurs arrondies à 10 puissance -1 près des images.(je me débrouille pour cette question)

4) Construire la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthogonal sur papier millimétré. On ne représentera pas les ordonnées négatives.( 2 cm représentent une seconde en abscisse et 1 cm représente 1 mètre en ordonnée.(je me débrouille)

5)Qu'elle est la hauteur maximale atteinte par la balle et à quel instant la balle atteint-elle cette hauteur maximale? (Je ne sais pas quel calcul faire)

6) Au bout de combien de seconde la balle touche-elle le sol? (Quel calcul faire?)
A quel(s) instants prend-on la balle sur la tête ?
On répondra a ces deux questions graphiquement puis algébriquement.
(Je ne comprend rien a cette question.)

Vous trouverez entre parenthèse ce qui me pose problème.

Merci d'avance !!

[laetidom]

Bonjour,

1) quand on trace h(t) une parabole tournée vers le haut (sommet en haut car -5t²), t=1s et t=3s sont symétriques par rapport au sommet ce qui voudrait dire qu'à 3 sec la balle est en train de redescendre donc si on obtient les mêmes résultats en h pour t=1s et t=3s c'est cohérent....

à t=1s la balle est à 16.6m de hauteur, à la montée, se dirigeant vers le haut, s'opposant à la gravité,

ensuite, la balle est à son apogée de sa trajectoire,

à t=3s la balle repasse par h= 16.6m, à la descente, se dirigeant vers le sol sous l'action de la gravité...

[kelthuzad]

Salut,

2) Si tu obtiens un résultat négatif alors c'est que la balle a atteint le sol avant 10sec.

[kelthuzad]

3) et 4) ok ?

5)
Pour trouver la hauteur max, on cherche en fait pour quelle valeur de t (habituellement x) le coefficient directeur de la tangente en ce point est nul, c'est-à-dire une tangente à la courbe qui est horizontale, ça correspond bien à la valeur max dans le cas d'une parabole comme celle-ci (parabole avec un coefficient négatif devant x² donc ayant la forme d'un U retourné)

Le coefficient directeur d'une tangente au point t n'est rien de plus que la dérivée en ce point : H'(t)

Résous donc H'(t) = 0 (habituellement f'(x) = 0), on cherche t qu'on peut noter t_max

t_max correspond au temps où H est le plus grand, càd que lorsque la balle retombe on a un t > t_max

Tu trouves ainsi une valeur t_max, on cherche la hauteur donc calcule H(t_max).

[kelthuzad]

A condition que le cours te le dise,
t_max peut être trouvé directement par la valeur du sommet d'une parabole ax² + bx + c qui est -b/2a
Ainsi il suffirait de calculer H(-20/(-2*5)) = H(2)

[kelthuzad]

6)

On cherche quelle valeur de t correspond à une hauteur nulle. Ainsi il va falloir résoudre
H(t) = 0
S'il y a plusieurs solutions, on prendra seulement la valeur de t supérieure à t_max pour rester cohérent !

[Nouille41]

Pour la question 1 j'ai compris mais je ne vois pas comment formuler mon explication..:/

[Nouille41]

Pour la 2) j'ai réussi entièrement, merci!

Pour la 3) , le tableau de valeurs je crois qu'il faut que je le face a partir de ma calculatrice puis que je récrive les résultats suelement je ne sais pas quoi taper..

4) je la ferai plus tard

5) je ne comprend pas trop le calcul a faire mais je vais prendre le tempse bien lire vos explications!

Merci beaucoup

[Nouille41]

Je n'arrive vraiment pas a la 5..... Je ne comprend pas vos calculs..

[kelthuzad]

Re,

La 1) indique simplement qu'on a une hauteur identique pour 2 temps différents, ça s'explique car la balle monte puis redescend donc pour 2 temps différents la balle passe 2 fois par la même hauteur.

La 3) il suffit de calculer toutes les hauteurs par tous les temps demandés
t = 0 donne H(0) = 1,6
t = 0,25 donne H(0,25) = -5(0,25)²+20*0,25+1,6 = ...
...
t = 5 donne H(5) = -5*5²+20*5+1,6 = ...

4) La question 3 donne plein de points, place les sur le repère et tente de tracer la courbe, c'est un polynôme ça doit ressembler à un U (un U à l'envers ici)
Pour être plus précis c'est en réalité quelque chose comme ça /¯\ avec les bords arrondis.

5)
Le mieux est d'utiliser la formule du sommet. On sait que la courbe a la forme d'un pont (U à l'envers) car c'est un polynôme dont "a" est négatif. (retiens le simplement)

ax² + bx + c

L'abscisse du sommet d'un polynôme du second degrès est -b/2a, ce qui correspond à l'abscisse (càd. au temps t) lorsque la balle a atteint sa hauteur maximale.
t = -b/2a
t = -20/(2*(-5))
t = 2 s

On vient de trouver que la hauteur maximale de la parabole est au point t = 2 (x habituellement)
Donc pour trouver la hauteur, il faut trouver le point sur la courbe d'abscisse 2 et regarder à quelle hauteur il correspond, en fait c'est simplement calculer H(t = 2)

H_max = H(2) = -5*2²+20*2+1,6 = ...

PS : à retenir, pour une parabole en forme de U, le sommet est le point le plus bas, pour une parabole en U inversé le sommet est le point le plus haut. Dans les deux cas les coordonnées du sommet sont :
x: -b/2a
y: f(-b/2a)

[Nouille41]

Je ne comprend pas votre formule..
Valeur de b?
De x?
De a?

[laetidom]

Je ne comprend pas votre formule..
Valeur de b?
De x?
De a?

ax² + bx + c

[kelthuzad]

Pour le sommet ?

ax² + bx + c

L'abscisse du sommet de ce polynôme est x = -b/a
Et donc l'ordonné du sommet c'est f(-b/a)

Application sur l'exo :

H(t)=-5t²+20t+1,6

x_sommet = -20/(2*(-5))
x_sommet = 2

y_sommet = H(2) = -5*2²+20*2+1,6 = 21,6

Ici t est en abscisse et H en ordonné, donc on comprend ici que la hauteur maximale est 21,6 mètres 2 secondes après le lancement.

N'hésite pas à relire plusieurs fois mon dernier post, il y a toutes les infos dont tu as besoin.

[Nouille41]

J'ai réussi la 5, merci
Mais je comprend rien du tout à a 6..

[kelthuzad]

Re,

Au bout de combien de secondes la balle touche-t-elle le sol ?
On peut traduire cette question avec nos informations mathématiques par :

Que vaut t quand H = 0 ? Ca parait clair, non ?

Sachant que :

H(t) = -5t² + 20t + 1,6

Cela revient donc à résoudre (on cherche t !)

-5t² + 20t + 1,6 = 0

Sais-tu résoudre un polynôme du second degrés ? En commençant par
delta = b² - 4ac

PS : en appliquant "bêtement" la méthode on trouve 2 solutions, on prendra seulement la solution supérieure à t = 2 puisqu'au bout de 2 secondes on a vu qu'elle était à sa hauteur maximale, ça serait aberrant qu'elle touche le sol avant. En fait le polynôme décrit un tracé plus grand que la trajectoire (par exemple une partie de la courbe correspond à une hauteur négative, on s'en fout ici), et nous, implicitement on s'occupe que d'une petite partie de la courbe qui correspond à la trajectoire de la balle.