Fonction

[giiseh]

Bonjour a tous
je n'arrive pas a resoudre cet exercice j'ai besoin de votre aide

On considere la fonction h defininie sur ]0;+[

h(x)=x+(1/x)
1)montrer que pour tous reels a et b strictement positifs
h(b)-h(a)=((b-a)(ab-1))/(ab)

2)Etudier les variations de h sur chacun des intervalles]0;1] et [1;+ [

3)Soit et deux reels strictement positifs
demontrer l'inegalite (/)+(/)2

voila mes reponses je suis arrivée seulement a la premiere question
1)On a : h(b) = b + 1/b. h(a) = a + 1/a.
h(b) - h(a) = b + 1/b - a - 1/a.
Pour pouvoir faire la somme de tous ces nombres, il faut les mettre au même dénominateur.
Ici on a des fractions sur a, d'autres sur b, donc on prend comme dénominateur ab.
b = b²a/(ab) ; 1/b = a/(ab) ; a = a²b/(ab) ; 1/a = b/(ab).
Donc quand on somme, ça donne :
h(b) - h(a) = (b²a + a - a²b - b)/(ab).

merci d'avance

[chombier]

Bonjour a tous
je n'arrive pas a resoudre cet exercice j'ai besoin de votre aide

On considere la fonction h defininie sur ]0;+[

h(x)=x+(1/x)
1)montrer que pour tous reels a et b strictement positifs
h(b)-h(a)=((b-a)(ab-1))/(ab)

2)Etudier les variations de h sur chacun des intervalles]0;1] et [1;+ [

3)Soit et deux reels strictement positifs
demontrer l'inegalite (/)+(/)2

voila mes reponses je suis arrivée seulement a la premiere question
1)On a : h(b) = b + 1/b. h(a) = a + 1/a.
h(b) - h(a) = b + 1/b - a - 1/a.
Pour pouvoir faire la somme de tous ces nombres, il faut les mettre au même dénominateur.
Ici on a des fractions sur a, d'autres sur b, donc on prend comme dénominateur ab.
b = b²a/(ab) ; 1/b = a/(ab) ; a = a²b/(ab) ; 1/a = b/(ab).
Donc quand on somme, ça donne :
h(b) - h(a) = (b²a + a - a²b - b)/(ab).

merci d'avance

Il se trouve que (b-a)(ab-1) = b²a + a - a²b - b

(à vérifier !)

[giiseh]

Je renvois le message j'ai vus que j'avais oublié des choses

Bonjour a tous
je n'arrive pas a resoudre cet exercice j'ai besoin de votre aide

On considere la fonction h defininie sur ]0;+infini[

h(x)=x+(1/x)
1)montrer que pour tous reels a et b strictement positifs
h(b)-h(a)=((b-a)(ab-1))/(ab)

2)Etudier les variations de h sur chacun des intervalles]0;1] et [1;+infini [

3)Soit et deux reels strictement positifs
demontrer l'inegalite (alpha/beta)+(beta/alpha) plus grand ou egal a 2

voila mes reponses je suis arrivée seulement a la premiere question
1)On a : h(b) = b + 1/b. h(a) = a + 1/a.
h(b) - h(a) = b + 1/b - a - 1/a.
Pour pouvoir faire la somme de tous ces nombres, il faut les mettre au même dénominateur.
Ici on a des fractions sur a, d'autres sur b, donc on prend comme dénominateur ab.
b = b²a/(ab) ; 1/b = a/(ab) ; a = a²b/(ab) ; 1/a = b/(ab).
Donc quand on somme, ça donne :
h(b) - h(a) = (b²a + a - a²b - b)/(ab).

merci d'avance

[chombier]

Je renvois le message j'ai vus que j'avais oublié des choses

As-tu résolu la question 1 ? (Mon message t'as-t-il aidé ?)

[giiseh]

As-tu résolu la question 1 ? (Mon message t'as-t-il aidé ?)

Euh... non je n'ai pas trop compris

[chombier]

Tu as prouvé que h(b) - h(a) = (b²a + a - a²b - b)/(ab).

Or (b²a + a - a²b - b) = (b-a)(ab-1)

Donc h(b) - h(a) = (b-a)(ab-1)/(ab).

[giiseh]

Tu as prouvé que h(b) - h(a) = (b²a + a - a²b - b)/(ab).

Or (b²a + a - a²b - b) = (b-a)(ab-1)

Donc h(b) - h(a) = (b-a)(ab-1)/(ab).

D accord merci j ai compris
Par contre pour les autres questions de l'exercice je ne vois pas comment faire...

[chombier]

D accord merci j ai compris
Par contre pour les autres questions de l'exercice je ne vois pas comment faire...

Pour étudier les variations d'une fonction c'est TOUJOURS la même méthode :

On calcule la dérivée de la fonction et on étudie son signe.

[giiseh]

On a pas encore vu les dérive en cours...