Etude de fonction 1°S

[Bicmaton213]

Bonjour, j'ai un dm pour demain sur l'étude de fonctions, l'exercice se compose de deux parties, l'une démonstration et l'autre application.


Soit u une fonction définie et monotone sur un intervalle I et telle que, pour tout réel x de I, u(x)>(ou égal)0.
1) Démonstration
a) Justifier que, pour tout réel x de I, (racine)u(x) est bien défini.
b) On suppose que u est strictement croissante sur I. Démontrer que la fonction (racine)u est strictement croissante sur l'intervalle I.
c) Démontrer que les fonctions u et (racine)u ont le même sens de variation sur I.
2) Application
Soit f la fonction définie par f(x)=(racine)(-x²-2x+3).
a) Déterminer l'ensemble de définition D de la fonction f.
b) Soit u : x -› -x²-2x+3 .
Étudier le sens de variation de u sur D et en déduire celui de f.


Moi :

1)a) (racine)u(x) est défini sur I car si u(x)>0 alors (racine)u(x)>0

b)u est croissant sur I et la fonction racine carré est croissante sur [0;+oo[
soit a et b deux réel positifs avec a>b.
a>b d'où (racine)a>(racine)b. donc (racine)u est croissant sur I.

c) help ...

2)a)j'ai calculé les solution de f(x)=0 et j'ai trouvé -3 et 1; f(x) est défini sur [-3;1] --> concorde avec ma calculatrice.

b)puisque la fonction est une parabole, j'ai cherché l'axe de symétrie et j'ai trouvé x=-1, f(x) est croissant sur [-3;-1[ et décroissant sur ]-1;1]. et u est croissant sur ]-oo;-1[ et décroissant sur ]-1;+oo[.

Est-ce que c'est ça? Niveau rédaction j'ai pas fait grand chose mais si le résultat est bon je pense savoir comment rédiger. Merci d'avance pour votre aide.

[patate_masquey]

Bonjour,

1.a. La preuve que soit bien définie est bel bien que u(x) soit supérieur ou égal à 0 (mais dire "alors racine de u(x) supérieur à 0" est inutile car c'est toujours vrai si la racine est bien définie)

1.b. Ton raisonnement est juste mais il ne faut pas oublier de rappeler que a et b sont positifs. On obtient :
0 < a < b
0 < u(a) < u(b) car u strictement croissante.
racine de u(a) < racine de u(b) car fonction racine carrée strct croissante sur [0;+oo[

1.c. Cette question est quasiment identique à la précédente. On veut montrer que u(x) et Vu(x) ont le même sens de variation. Il suffit de montrer que :
• Si u est strict. croissante, alors Vu est strct. croissante. (déjà démontré ds la question précédente)
• Si u est strict. décroissante, alors Vu es strct. décroissante.
Il ne reste plus qu'à démontrer le deuxième point.

[Bicmaton213]

Je vais revoir mes réponses, merci beaucoup pour ton aide :) .

[Bicmaton213]

Bonjour,

1.c. Cette question est quasiment identique à la précédente. On veut montrer que u(x) et Vu(x) ont le même sens de variation. Il suffit de montrer que :
• Si u est strict. croissante, alors Vu est strct. croissante. (déjà démontré ds la question précédente)
• Si u est strict. décroissante, alors Vu es strct. décroissante.
Il ne reste plus qu'à démontrer le deuxième point.

Bonsoir, j'ai un soucis, la fonction carrée n'est que croissante sur [0;+oo[, on ne peux pas démontrer le second point puisque ça n'est pas possible ...

[capitaine nuggets]

Bonsoir, j'ai un soucis, la fonction carrée n'est que croissante sur [0;+oo[, on ne peux pas démontrer le second point puisque ça n'est pas possible ...

Pourquoi on ne pourrait pas ?
La (dé)croissance n'implique rien de particulier sur le signe de :+++:

Par exemple, sur , est croissante comme composée d'une fonction croissante (la racine) et d'une fonction décroissante (la fonction inverse).

[Bicmaton213]

erreur idiote de ma part ... j'ai confondu u et x (oui je sais ce que vous pensez ...). Merci de votre aide (et de votre patience ...).