Etude d'une fonction composé de la fonction ln

[patou47]

Bonjour j'ai un petit problème au niveau de la rédaction d'une question de maths, je vais donc écrire tous le sujet pour faciliter la compréhension mais n'écrire la réponse que de la question qui me pose un problème, voici le sujet:
Soit f la fonction définie sur ]1;+infinie[ par f(x)=lnx-(1/lnx).
On nomme C la courbe représentative de f et Gamma la courbe d'équation y=lnx dans un repère orthogonal (O;veci;vecj).
1.Etudier les variations de f et calculer les limites en 1 et en +infinie.
2.a)Déterminer ; interpréter graphiquement ce résultat.
b) Préciser les position relative de C et de Gamma.
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe C passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à ]1;+[.
Démontrer que la tangente Ta à C au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si, et seulement si, f(a)-af'(a)=0.
b) Soit g la fonction définie sur ]1;+[ par g(x)=f(x)-xf'(x). Montrer que, sur ]1;+[, les équations g(x)=0 et (lnx)-(lnx)²-lnx-1=0 ont les mêmes solutions.
c) Montrer que la fonction u(t)=t-t-t-1 s'annule une seule fois et une seule sur R. On note alpha la valeur de t pour laquelle u s'annule.
d) En déduire l'existence unique d'une tangente à la courbe C passant par l'origine O.
C'est cette question qui m'a posé problème notamment au niveau de la rédaction.
Je pense que l'on peut procédé par un changement de variable de cette sorte:
la tangent Ta au point d'abscisse a passe par O ssi g(a)=0
ssi (lna)-(lna)²-lna-1=0
Si t appartient à ]1;+[ alors lnt appartient à R.
Si lnt appartient à R alors t appartient à R+*.
On pose lna=t
on a: t-t-t-1=0 ssi t=alpha
ssi lna=alpha
ssi a= exp(alpha).
On peut raisonner également par composition de cette façon:
la tangent Ta au point d'abscisse a passe par O ssi g(a)=0
ssi (lna)-(lna)²-lna-1=0
par composition avec lna=t (voir3.c)) ssi lna=alpha
ssi a= exp(alpha)
Quel méthode est la plus adapté dans ce cas (composition ou changement de variable)? C'est deux méthode sont elles convenablement rédigé? Merci d'avance, bonne soirée .
PS: à coté des t et des ln se sont des exposant mais je trouve qu'ils sont mal fait.