énigmouilette à deux rond...

[Ben314]

On considère deux paraboles et d'équation respectives et .

A quelle condition existe t-il une unique droite qui soit tangente à la fois à et à ?

On peut le faire "à la bourrin" (c'est ce que j'ai fait... :triste: ) mais vu le résultat, il doit y avoir "pas trop bourin"...

[Ben314]

Bon, j'ai lé réponse avec "zéro calculs" (mais un peu de géométrie projective...)

[Lostounet]

Hello,

J'ai exprimé l'équation d'une tangente à P, puis j'ai essayé de résoudre l'équation avec paramètre pour qu'en substituant il n'y ait qu'une solution unique à:

a'x² + b'x + c' = (2am + b)x - am² + c

Sinon, une condition "nécessaire": Je pense que l'une des paraboles doit être à la fois décalée en fonction de l'axe des abscisses ET des ordonnées (ou au moins l'axe des abscisses) car sinon par convexité ça ne peut pas aller. La tangente à l'une ne serait pas tangente à l'autre sinon...

Aurais-tu des pistes (pour mon niveau)

[Ben314]

Par le calcul, c'est bien comme ça qu'il faut faire
a'x² + b'x + c' = (2am + b)x - am² + c
a'x² + (b'-b-2am)x + (c'-c+am²) = 0
La tangente à P est tangente à P' ssi il y une unique racine en x donc ssi le discriminant en x est nul :
(b'-b-2am)²-4a'(c'-c+am²)=0
Et pour qu'il y ait une unique tangente commune, donc un unique tel m, le discriminant en m doit être nul.
Or ce discriminant vaut
-aa'[(b-b')^2-4(a-a')(c-c')]
qui est aussi le discriminant de ... donc ...

[Lostounet]

Cela ressemble au discriminant de P-P'...
La différence doit être une parabole placée sur l'axe des abscisses..?

Et comment fais-tu sans calcul?

[Ben314]

Cela ressemble au discriminant de P-P'...
La différence doit être une parabole placée sur l'axe des abscisses..?

Et comment fais-tu sans calcul?

Oui, modulo de supposer a et a' non nuls (ce qui est clair vu qu'on parle de parabole), le dernier discriminant est nul ssi le discriminant de P-P' est nul, c'est à dire ssi P et P' se coupent en un unique point, c'est à dire ssi les parables sont tangentes en un point.
BILAN : Deux paraboles ont une unique tangente commune ssi elles sont tangente en un point.

Et sur le "sans calculs",, je suis pas sûr à 100% du raisonnement et ça utilise de la géométrie projective, à savoir que la courbe duale d'une conique du plan est elle même une conique du plan.
En terme un peu simplifié, si on regarde l'ensemble E des points du plan de coordonnées (m,p) tels que la droite d'équation y=mx+p soit une tangente à une conique donnée, alors cet ensemble E est lui même une conique.

[chan79]

BILAN : Deux paraboles ont une unique tangente commune ssi elles sont tangente en un point.

Ca m'étonne un peu

y=x²
y=x²-2x+2

[Lostounet]

Je pense qu'on pourrait aussi dire que c'est ssi
Abs(P(-b/2a)) - abs(P'(-b/2a)) = 0

Est -ce vrai? Au moins dans certains cas

[Ben314]

Ca m'étonne un peu
y=x²
y=x²-2x+2

Oupsss....
J'ai effectivement zappé un "léger" détail... :hum:

L'équation
(b'-b-2am)²-4a'(c'-c+am²)=0
Peut n'être que du premier degré (en m) et dans ce cas, elle n'a évidement qu'une seule solution...
Donc pour que ça ne marche, il faut en plus rajouter l'hypothèse a différent de a' (donc le deuxième cas de figure où il n'y a qu'une seule tangente commune est celui où les paraboles sont des translatées l'une de l'autre)

Sorry...

[chan79]

Oupsss....
J'ai effectivement zappé un "léger" détail... :hum:

L'équation
(b'-b-2am)²-4a'(c'-c+am²)=0
Peut n'être que du premier degré (en m) et dans ce cas, elle n'a évidement qu'une seule solution...
Donc pour que ça ne marche, il faut en plus rajouter l'hypothèse a différent de a' (donc le deuxième cas de figure où il n'y a qu'une seule tangente commune est celui où les paraboles sont des translatées l'une de l'autre)

Sorry...

OK
J'ajoute qu'il peut aussi n'y avoir aucune tangente commune avec a=a'
y=x²
y=x²+1

Finalement, la condition cherchée serait

[chan79]

Oupsss....
J'ai effectivement zappé un "léger" détail... :hum:

L'équation
(b'-b-2am)²-4a'(c'-c+am²)=0
Peut n'être que du premier degré (en m) et dans ce cas, elle n'a évidement qu'une seule solution...
Donc pour que ça ne marche, il faut en plus rajouter l'hypothèse a différent de a' (donc le deuxième cas de figure où il n'y a qu'une seule tangente commune est celui où les paraboles sont des translatées l'une de l'autre)

Sorry...

Finalement, la condition demandée est:

[(a=a') et (bb')] ou [(b-b')²=4(a-a')(c-c')]

OK Ben314 ?

[Ben314]

Pour être "totalement exact", il faut même rajouter
[ (a=a') et (bb')] ou [(aa') et (b-b')²=4(a-a')(c-c')]

Après, à mon avis, ça serait plus "plus joli" de changer l'énoncé en rajoutant que a est différent de a' pour que ce que j'ai affirmé dans le post. de 10h32 du 18/11 soit... vrai...

[Groucho]

Pour être "totalement exact", il faut même rajouter
[ (a=a') et (bb')] ou [(aa') et (b-b')²=4(a-a')(c-c')]

Après, à mon avis, ça serait plus "plus joli" de changer l'énoncé en rajoutant que a est différent de a' pour que ce que j'ai affirmé dans le post. de 10h32 du 18/11 soit... vrai...

Voici un essai d'un raisonnement sans calcul, dont moi non plus je ne mettrais pas ma main à couper, mais que je propose quand même.

Projectivement, une parabole c'est juste une conique (non dégénérée) tangente à la droite de l'infini. Ici tu as 2 paraboles, mais pas quelconques puisqu'elles ont des axes parallèles. Ce qui veut dire qu'elles sont tangentes à la droite de l'infini au même point. Or, dans C, 2 coniques ont toujours 4 tangentes communes si on tient compte de l'ordre de multiplicité (théorème de Bezout). La droite à l'infini compte deux fois (même point de tangence), (ici à vérifier, pourquoi pas plus ?), et s'il y en a qu'un seule autre, elle doit compter double, autrement dit le point de tangence doit être le même pour les 2 paraboles.

Je n'ai pas l'impression que la réciproque pose problème. A vérifier aussi, mais je pense que c'est facile, cette autre tangente doit être réelle (le raisonnement précédent se fait dans C )

J'aurais aimé faire intervenir 2 cercles pour justifier ton titre ...

[Ben314]

Ca marche... presque... (c'est l'idée que j'avais) mais il y a deux petits problèmes :

1) Pour avoir systématiquement 4 tangentes communes (exactement), il faut être dans un corps algébriquement clos ce qui n'est pas le cas de R, mais ce n'est pas gênant ici, vu qu'on a déjà une tangente "double" (la droite à l'infini) plus une autre (la droite tangente aux deux coniques) ce qui fait 3 tangentes réelles (par opposition à complexe) donc la 4em est elle aussi réelle.

2) Le vrai problème, c'est que ce qu'on sait, c'est que la droite à l'infini est au moins une tangente double.
Si ce n'est que une tangente double, alors l'autre tangente est elle aussi double et on a le résultat.
Mais il est possible que la droite "à l'infini" soit tangente triple [resp. quadruple] et dans ce cas, il ne reste qu'une tangente "simple" [resp. pas de tangente du tout]. Et c'est ce qu'il se passe lorsque a=a' [resp. a=a' et b=b']

[Groucho]

Ca marche... presque... (c'est l'idée que j'avais) mais il y a deux petits problèmes :

1) Pour avoir systématiquement 4 tangentes communes (exactement), il faut être dans un corps algébriquement clos ce qui n'est pas le cas de R, mais ce n'est pas gênant ici, vu qu'on a déjà une tangente "double" (la droite à l'infini) plus une autre (la droite tangente aux deux coniques) ce qui fait 3 tangentes réelles (par opposition à complexe) donc la 4em est elle aussi réelle.

2) Le vrai problème, c'est que ce qu'on sait, c'est que la droite à l'infini est au moins une tangente double.
Si ce n'est que une tangente double, alors l'autre tangente est elle aussi double et on a le résultat.
Mais il est possible que la droite "à l'infini" soit tangente triple [resp. quadruple] et dans ce cas, il ne reste qu'une tangente "simple" [resp. pas de tangente du tout]. Et c'est ce qu'il se passe lorsque a=a' [resp. a=a' et b=b']

Effectivement, et c'est d'ailleurs les problèmes que j'avais évoqués.


Pour le 1, ce n'est pas vraiment un problème. On travaille dans C. Comme tu le dis, après élimination des solutions correspondant à la droite de l'infini, il reste une équation du second degré, à coefficients dans R qui a une racine double. Celle ci est donc nécessairement réelle.


Pour le 2, c'est effectivement plus compliqué. Si la droite de l'infini est quadruple, ça ne marche pas, mais on peut être de mauvaise foi et prétendre que la tangente manquante est aussi la droite de l'infini (non seulement on n'est pas dans C, mais en plus on est dans le plan affine, qui nous fait ignorer cette solution).

Je ne suis pas sûr que le cas tangente triple puisse se produire. La tangente en question ne peut rencontrer ni l'une ni l'autre des coniques et donc ne peut lui être tangente en un autre point. Comment peut donc être triple ? Une conique ne possède pas de point d'inflexion. Bref, je n'y vois pas tout à fait clair.


Je refuse par avance toute solution qui ferait appel à des calculs. Joli problème en tout cas

[Ben314]

Si, il peut y avoir des tangentes "triples" les coniques n'ont certes pas de point d'inflexions, mais ce qui importe c'est une notion de "point d'inflexion de la différence entre les deux" et pas de point d'inflexion "individuels".

En fait, si les deux conique sont tangentes en un point et qu'en plus la courbure des deux coniques en ce point est la même, au niveau du nombre de tangentes communes, ça va compter "triple" dans le théorème de Bézout.
Et c'est bien entendu possible en prenant un point quelconque d'une conique (tout aussi quelconque) et en considérant le cercle osculateur de la conique en ce point. Dans ce cas, il n'y aura qu'une tangente à la conique et au cercle autre que la tangente en ce point (voire zéro si le cercle approxime la conique à l'ordre 3 et pas 2, c'est à dire s'il ne traverse pas la courbe au point de contact comme par exemple avec une ellipse et un des 4 points situés sur les deux axes)
Et entre deux coniques quelconques tangentes en un point, on aura aussi une tangente au moins triple si les deux coniques ont le même cercle osculateur en ce point (i.e. des D.L. qui coïncident non seulement à l'ordre 1, mais aussi à l'ordre 2)

[Groucho]

Si, il peut y avoir des tangentes "triples" les coniques n'ont certes pas de point d'inflexions, mais ce qui importe c'est une notion de "point d'inflexion de la différence entre les deux" et pas de point d'inflexion "individuels".

En fait, si les deux conique sont tangentes en un point et qu'en plus la courbure des deux coniques en ce point est la même, au niveau du nombre de tangentes communes, ça va compter "triple" dans le théorème de Bézout.
Et c'est bien entendu possible en prenant un point quelconque d'une conique (tout aussi quelconque) et en considérant le cercle osculateur de la conique en ce point. Dans ce cas, il n'y aura qu'une tangente à la conique et au cercle autre que la tangente en ce point (voire zéro si le cercle approxime la conique à l'ordre 3 et pas 2, c'est à dire s'il ne traverse pas la courbe au point de contact comme par exemple avec une ellipse et un des 4 points situés sur les deux axes)
Et entre deux coniques quelconques tangentes en un point, on aura aussi une tangente au moins triple si les deux coniques ont le même cercle osculateur en ce point (i.e. des D.L. qui coïncident non seulement à l'ordre 1, mais aussi à l'ordre 2)

Tu dois avoir raison. Ce qui n'est complètement pas clair pour moi, et je n'ai pas envie de le vérifier par le calcul, c'est que si elle sont tangentes avec le même rayon de courbure, la tangente compte triple (au moins). On peut donc avoir un exemple, comme tu le dis, avec une ellipse et le cercle osculateur en un point qui n'est pas l'une des extrémités d'un axe de symétrie de l'ellipse (pour ne pas retomber dans le cas d'une tangente quadruple), et si on veut des paraboles comme tu le désires, il suffit d'envoyer ce point sur le point à l'infini dans la direction de l'axe des y, et la tangente sur la droite de l'infini.