Deux cercles dans deux triangles

par **LeJeu** » 26 Mar 2013, 23:31

Bonsoir,

trouvé en se baladant sur le net :

Le deux cercles ont même rayon, on cherche AM

par **chan79** » 27 Mar 2013, 22:47

Salut
Pour l'instant, j'arrive à une équation de degré 4, avec comme paramètres a, b et c ..... :hum:
Pour la construction avec geogebra, ça fonctionne bien

par **chan79** » 27 Mar 2013, 22:48

Salut
Pour l'instant, j'arrive à une équation de degré 4, avec comme paramètres a, b et c ..... :hum:
J'ai utilisé le théorème de Stewart
Je vais tâcher de continuer de chercher.
Pour la construction avec geogebra, ça fonctionne bien

par **LeJeu** » 27 Mar 2013, 23:02

chan79 a écrit:Salut
Pour l'instant, j'arrive à une équation de degré 4, avec comme paramètres a, b et c ..... :hum:
Je vais tâcher de continuer à chercher.
Pour la construction avec geogebra, ça fonctionne bien

Je te confirme bien que le résultat est en fonction de a, b c ;-)

en une expression plutôt simple voir jolie...

par **chan79** » 27 Mar 2013, 23:06

LeJeu a écrit:Je te confirme bien que le résultat est en fonction de a, b c
en une expression plutôt simple voir jolie...

Sans doute 4 AM²=(b+c)²-a²

en lorgnant à droite et à gauche :zen:

par **chan79** » 28 Mar 2013, 13:23

LeJeu a écrit:Je te confirme bien que le résultat est en fonction de a, b c
en une expression plutôt simple voir jolie...

Sans doute: 4 AM²=(b+c)²-a²

en lorgnant à droite et à gauche :zen:

par **LeJeu** » 28 Mar 2013, 22:14

chan79 a écrit:Sans doute: 4 AM²=(b+c)²-a²

en lorgnant à droite et à gauche :zen:

Oui bien-sûr..
Mais Chan ! c'est pas bien de regarder par dessus l'épaule des ses petits camarades....

Tu avais vu qu'avec un triangle isocèle on voyait se dessiner lexpression avec AM² = b² - a²/4 ?

la démonstration dans le cas général ( j'ai regardé aussi la copie du voisin :-)

) même si elle utilise des outils simples me semble bien ardue ? non?

Sinon pour ceux qui suivent le fil On demande maintenant le rayon du cercle

par **chan79** » 28 Mar 2013, 23:36

LeJeu a écrit:Oui bien-sûr..
Mais Chan ! c'est pas bien de regarder par dessus l'épaule des ses petits camarades....

Tu avais vu qu'avec un triangle isocèle on voyait se dessiner lexpression avec AM² = b² - a²/4 ?

la démonstration dans le cas général ( j'ai regardé aussi la copie du voisin ) même si elle utilise des outils simples me semble bien ardue ? non?

Sinon pour ceux qui suivent le fil On demande maintenant le rayon du cercle

En écrivant l'aire S de ABC comme une somme d'aire de triangles

r(b+c+a+2d)=2S avec d=AM

on remplace d par

pour S, il y a la formule de Héron ...
ce qui nous fait ce truc ....

par **Lostounet** » 29 Mar 2013, 00:42

Bonsoir !

Alors pour trouver le rayon r de ces deux cercles... J'ai une idée folle !

D'après le théorème Japonais , la somme des rayons des cercles inscrits est constante quelle que soit la façon de trianguler le polygone... (Espérons qu'un triangle est aussi... un polygone..)

Pourquoi ne pas trianguler plus simplement ce triangle...? Trouver la somme de deux rayons, puis faire la moyenne...

En projetant orthogonalement M':

(Qualité modeste, désolé... Ce n'est pas mon ordi).

* Prenons le triangle AM'B et notons

sont demi-périmètre, r le rayon du cercle inscrit rouge:

L'aire (AM'B) vérifie:

AM' * BM' = (AM' + BM' + c)/2 * r

Ainsi:

* Prenons le triangle AM'C et notons S2 sont demi-périmètre, R le rayon du cercle inscrit rouge:

AM' * CM' = (AM' + CM' + b)/2 * R

On a alors:

R + r = AM'(b*BM' + c*CM' + AM'*BM' + AM'*CM' + BM'² + BM'*CM')

Je vais essayer de simplifier...

R + r = AM' (b*BM' + c*CM' + AM'*a + c²)

On pourrait exprimer AM', CM' et AM' en fonction des cotés, mais c'est vraiment encombrant...

par **chan79** » 29 Mar 2013, 08:18

[quote="Lostounet"]QUOTE]
Bonjour
Bonne idée, mais ça ne fonctionne malheureusement pas. Pour le théorème japonais, il s'agit de trianguler en reliant des sommets du polygone inscriptible.
Par exemple, pour un quadrilatère (inscriptible):

par **Dacu** » 29 Mar 2013, 09:28

Bonjour!

où

est la surface du

,

est le rayon du cercle et

.Je ne sais pas comment je peux trouver la valeur de

.
Cordielement!

par **Lostounet** » 29 Mar 2013, 11:11

chan79 a écrit:Bonjour
Bonne idée, mais ça ne fonctionne malheureusement pas. Pour le théorème japonais, il s'agit de trianguler en reliant des sommets du polygone inscriptible.

Hum... Mais ça semble marcher 'intuitivement'... Un grand rayon et un plus petit... ?
Ce n'est pas vrai pour un triangle? M est un sommet, particulier : il appartient à [BC]

par **chan79** » 29 Mar 2013, 11:29

Lostounet a écrit:Hum... Mais ça semble marcher 'intuitivement'... Un grand rayon et un plus petit... ?
Ce n'est pas vrai pour un triangle? M est un sommet, particulier : il appartient à [BC]

salut
vois ici (déplace M)

par **Imod** » 29 Mar 2013, 12:03

Bonjour à tous :zen:

Il y a quelques années j'avais proposé cet exercice sur Les Mathématiques.net , c'est une généralisation du problème de LeJeu .

Imod

par **Lostounet** » 29 Mar 2013, 15:26

chan79 a écrit:salut
vois ici (déplace M)

Hum ! J'adore la géométrie !!!

Cela dit, la somme semble maximale lorsque r1 = r2 !

par **Dacu** » 29 Mar 2013, 16:18

chan79 a écrit:salut
vois ici (déplace M)

Bonjour!
Il ne peut pas lire le document ici.
Cordielement!

par **chan79** » 29 Mar 2013, 16:33

Dacu a écrit:Bonjour!
Il ne peut pas lire le document ici.
Cordielement!

Avec Internet Explorer, ça marche, en principe. Peut-être faut-il cliquer sur "Afficher tout le contenu" en bas de l'écran ?

par **Dacu** » 29 Mar 2013, 17:07

Merci beaucoup!Pour quelles valeurs a,b,c ,

?Je ne comprends pas!

par **chan79** » 29 Mar 2013, 17:24

Dacu a écrit:Merci beaucoup!Pour quelles valeurs a,b,c , ?Je ne comprends pas!

Comme l'a conjecturé Lostounet, pour un triangle ABC donné, quand on fait varier M, il semble que la somme des rayons soit maximale quand ces deux rayons sont égaux.

par **Dacu** » 29 Mar 2013, 17:59

Lostounet a écrit:

Bonsoir!
Je crois que

et

.
Cordielement!

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