Lesf fourmis tournent en rond...

[Ben314]

Salut, une énigme inspirée... d'une autre trouvée sur un autre site :

I) Sur un segment horizontal de longueur 10m sont disposées un certain nombre N de fourmis (qu'on assimilera à des points immatériels : pauvres petites bêtes...).
A un instant t=0 donné, chacune d'elle part dans une certaine direction (vers la droite ou vers la gauche) à la vitesse constante de 50cm par minute.
Ensuite, lorsque une fourmis arrive a un bord du segment [ou lorsque deux fourmis se rencontrent], elle[s] fait [font] instantanément demi tour et repart[ent] dans l'autre sens à la même vitesse.

a) Déterminer, en fonction de la configuration initiale (positions + directions), la position + direction de chacune des fourmis au bout de 20 minutes.
b) Déterminer, en fonction de la configuration initiale (positions + directions), le nombre de demi tours qu'aura fait chacune des fourmis (toujours au bout de 20 minutes).

II) Mêmes questions si les fourmis se déplacent sur un cercle de circonférence 10m (toujours au bout de 20 minutes).

=> Pas très difficile + aucun pré-requis + quasi pas de calculs

[L.A.]

Bonjour,

attention spoil : :zen:

Sur le segment : si on considère que les fourmis ne rebondissent pas les unes contre les autres, chaque fourmi ira taper les deux bord puis reviendra à sa position/vitesse initiale au bout du temps imparti. C'est pareil si elles rebondissent les unes contre les autres mais "échangent leur âme" à chaque fois, donc la situation finale est la même que la situation initiale à permutation éventuelle près des fourmis. Mais comme l'ordre des fourmis reste inchangé, cette permutation est forcément l'identité, et on revient exactement au point de départ.

Sur le cercle c'est pareil, sauf que cet argument n'interdit pas les permutations circulaires... Si toutes les fourmis dansent une ronde folle, dans le même sens, et qu'il n'y en a qu'une qui tourne dans l'autre sens (la vicieuse !), elle va récupérer la trajectoire de la première fourmi qu'elle cogne, et ainsi de suite. J'ai l'impression, mais je me trompe peut-être, qu'elle va se faire rechoper une deuxième fois (prise à son propre piège !) puisque la perturbation fait deux fois le tour du cercle dans le référentiel où N-1 fourmis sont fixes. Donc on arrive a une permutation qui est (1 ... N)^2.

Je trouve pas que ça soit très simple pour le moment, mais j'ai peut-être pas encore la bonne approche... :hein:

Edit : rectification, le temps est deux fois plus court que ce que je pensais :dodo: donc pour le segment la situation finale est le miroir de la situation de départ, et pour le cercle la permutation est juste (1 ... N).

[Ben314]

Pour le I)a), c'est bien ça (modulo ton Edit) et ça répond en partie au II)a) vu que ça donne globalement la position/direction des fourmis à la fin mais il reste effectivement à déterminer la position individuelle (d'une seule fourmis, ça suffit évidement)

Donc il reste la fin du II)a) et les b) où il faut effectivement un peu plus "gratter" pour voir ce qui se passe....

[nodjim]

Le nombre de demi tours de chacune des n fourmis est variable, mais cumulé ça donne n².On peut dénombrer n(n+1)/2 rebonds en tout. Si 1 ou 2 fourmis partent d'une extrémité, on ôtera 1 ou 2 rebonds.
Pour le cercle, pas de rebond d'extrémité, mais chaque fourmi fera virtuellement 1 tour complet et "croisera" toutes les fourmis qui ont démarré dans l'autre sens. Si n fourmis partent dans un sens et m dans l'autre, il y aura n*m "croisements virtuels" donc n*m rebonds.

[Imod]

Bonjour à tous :zen:

Je me suis uniquement intéressé au cas de la piste circulaire .

Disons pour simplifier les choses que R fourmis rouges tournent dans le sens trigo et que N fourmis noires tournent dans le sens horaire . A chaque choc elles conservent leurs mouvements mais échangent leurs papiers . On a en fait deux anneaux de fourmis qui tournent à la même vitesse mais dans le sens contraire . En changeant de repère on peut même supposer que les fourmis noires ne bougent pas et que les fourmis rouges tournent dans le même sens mais deux fois plus vite . En 20 minutes une fourmi rouge aura donc fait deux tours complets et aura percuté deux fois chaque fourmi noire il y aura eu donc 2N collisions soit en tout 2RN chocs .

Imod