Sous espace engendré par des vecteurs complexes

[madgva]

Bonjour,

Voilà mon problème: Soit A une application dans R5 (espace à 5 dimension) représentée par la matrice
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
Dans un premier temps je cherche les sous espaces invariants par A. Donc je calcules les valeurs propres: 1, exp(i2pi/5) , exp(-i2pi/5), exp(i4pi/5) et exp(-i4pi/5) car le polynome caractéristique est x^5=1.

La diagonale (1,1,1,1,1) est invariante par A.

Les vecteurs propres associés aux valeurs exp(i2pi/5) , exp(-i2pi/5) sont respectivement:
(1, exp(i8pi/5), exp(i6pi/5), exp(i4pi/5) , exp(i2pi/5) ) et (1, exp(-i8pi/5), exp(-i6pi/5), exp(-i4pi/5) , exp(-i2pi/5) )
Ces deux vecteurs engendrent un plan (dim2), noté E ,dans un espace de dim 5. Mon problème est le suivant.
-Comment connaître l'équation du plan E qui est réel à partir de deux vecteurs complexes?
- Une fois que je connais ce plan E, comme puis-je trouver la restriction de l'application A dans ce plan E? (je sais que la réponse doit- être que A restreinte à E est une matrice de rotation de 2pi/5 mais je n'arrive pas à le prouver

Merci à tous pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Ton plan E il n'est pas du tout "réel", c'est le sous C-espace vectoriel de dimension 2 engendré par tes deux vecteurs (qui est un sous R-e.v. de dimension 4, mais ce n'est pas vraiment utile ici)
Par contre, ce que tu peut chercher, c'est l'ensemble E' des vecteurs à coordonnées réelles qui font parti de E (qui sera évidement plus petit que E).
Il y a des tonne de façon de procéder, mais une des plus simples consiste à constater que les deux vecteurs à coordonnées complexes V1, V2 qui forment une base de E (en temps que sous C-e.v.) ont leurs coordonnées conjuguées, ce qui signifie qu'ils peuvent s'écrire V1=U+iW et V2= U-iW où U et W sont des vecteurs à coordonnées réelles.
Montre alors que, les vecteurs U et W forment eux aussi une base de E et déduis en que les vecteurs de E à coordonnées réelle sont ceux de la forme xU+yV avec x et y réels (alors que les vecteurs de E quelconques sont ceux de la forme xU+yV avec x,y complexes : il y en a nettement plus...)

Pour trouver la matrice de la restriction de A à E dans la base (U,V), il te suffit de partir de A.V1=exp(i2pi/5)V1 et de A.V2=exp(-i2pi/5)V2 et d'en déduire les valeurs de AU et AW en fonction du U et W.

[madgva]

Salut,

Merci beaucoup pour ta réponse, je dois dire qu'en postant le message ce matin, je n'avais pas beaucoup d'espoir d'avoir une réponse, alors sincèrement MERCI!

Avec tes indications j'ai bien trouvé U et V vecteurs réels : j'ai trouvé U=(1, cos(8pi/5), cos(6pi/5), cos(4pi/5), cos(2pi/5)) et V=(0, sin(8pi/5), sin(6pi/5), sin(4pi/5), sin(2pi/5)) en espérant que ce soit correct. J'ai également vérifié que c'est une famille libre et génératrice.( donc ok c'est une base)

Par contre je peine encore pour la restriction. Je dois te confier que je suis pas mathématicienne à la base mais chimiste alors mon intuition mathématique n'est pas très aiguisée. J'ai une vision plus géométrique de ce qu'est une restriction, je le comprends comme si on ne regardait que ce que fait l'application A sur les point du plan E' .
Donc dans un premier temps j'avais simplement fait la multiplication matricielle de AU pour voir comment changeait ce vecteur de base par l'application A. (puis j'ai fait la multiplication matricielle de AV dans la même logique)

Je tombe sur un vecteur 5 lignes et une colonne et je constate que ce que fait A est une "simple" permutation des coordonnées de U et de V. (ie: AU=(cos(2pi/5), 1, cos(8pi/5), cos(6pi/5), cos(4pi/5))
Intuitivement je sens bien que c'est un peu comme une rotation de 2pi/5 car la permutation est "d'un cran" mais j'aurai voulu trouver une nouvelle matrice A' qui aurait la tête d'une matrice classique de rotation.

Dernière question, qui dit rotation dit axe de rotation. Comment le trouver? est-ce-simplement la diagonale (1,1,1,1,1) (ce que j'imagine car quand je multiplie A par la (1,1,1,1,1) je retombe sur (1,1,1,1,1)) si oui est.-ce une preuve suffisante?

merci encore pour ton aide.

[Ben314]

Tu n'as pas vraiment intérêt de "redescendre" aux coordonnées. Si tu pose , alors
et
En ajoutant les deux, on trouve
En soustrayant les deux, on trouve
Donc la restriction de A a E a comme matrice dans la base (U,W)

Concernant "l'axe" de la rotation, c'est en fait le sous espace de dimension 5-2=3 orthogonal à E.
En dimension 2 une rotation se fait autours d'un "centre" qui, dans le cas des rotations vectorielles, est forcément le vecteur nul (donc un s.e.v. de dimension 0)
En dimension 3 une rotation se fait autours d'un "axe" qui, dans le cas des rotations vectorielles, est une droite vectorielle (donc un s.e.v. de dimension 1)
En dimension quelconque n, une rotation fait "tourner" un plan (vectoriel) P, c'est à dire un s.e.v. de dimension 2 et son "axe", c'est l'orthogonal de ce plan, c'est à dire un s.e.v. de dimension n-2.
Ici, tu est en dimension 5 et ton application A se "décompose" en l'identité sur une droite vectorielle (dim 1) + une rotation vectorielle d'angle 2pi/5 sur un plan (dim 2) + une autre rotation vectorielle d'angle 4pi/5 sur un autre plan (dim 2).
On peut vérifier que la droite et les 2 plans sont des s.e.v. 2 à 2 orthogonaux (n'essaye pas de visualiser ce que ça veut dire : en dimension 3, on ne peut pas trouver deux plans qui sont des s.e.v. orthogonaux vu que 3=2+2=4.