DM limites (nombre d'or) TS

[Marie699]

Pouvez-vous m'aider pour cet exercice impossible svp ?

A) Le nombre d'or noté O apparait dans les éléments d'Euclide

A 1) Soit L et l la longueur et la largeur du petit rectangle, alors pour le rectangle initiale la longueur est L+l et la largeur L. On a O=L/l et L+l/L = L/l. Montrer alors que O vérifie l'équitation x²-x-1=0.

A 2) Donnez alors la valeur de O et un avaleur approchée à 10^-3 près.



B) Soit (Vn) la suite définie par Vo=1 et pour tout n de N : Vn+1=racine Vn+1

B 1) Montrez par récurrence que pour tout n de N, 1 inférieur ou égal Un inférieur ou égal 2.

B 2) Soit f la fonction définie sur R par f(x)=racine w+1, étudiez les variations de f.

B 3) Montrez alors par récurrence que (vn) est croissante.

B 4) Déduisez en que (Vn) est est convergente et déterminez sa limite.
On montre ainsi que O= racine [1+racine(1+(racine 1+......


C Soit (Un) la suite définie par Uo=1 et pour tout n de N, Un+1= 1+1/Un.

C 1) Montrez par récurrence que pour tout n de N, 1 inférieur ou égal Un inférieur ou égal 2.

C 2) Soit g la fonction définie sur R par : g(x)=1+1/x, étudiez les variations de g.

C 3) Dans un repère orthonormé d'unité graphique 10cm représentez Cg (sur [0;2]) et faites figurer les 6 premiers termes de la suite (Un).

C 4) D'après le graphique, (Un) est-elle monotone ? Que dire des termes de rangs paires et de rangs impaires de la suite ?

C 5) On admet que la suite (Un) converge, déduisez sa limite.
On montre ainsi que O= (1+/1+1/1+1/.....)




Merci de votre aide je suis vraiment perdue !!! :triste:

[titine]

Pouvez-vous m'aider pour cet exercice impossible svp ?

A) Le nombre d'or noté O apparait dans les éléments d'Euclide

A 1) Soit L et l la longueur et la largeur du petit rectangle, alors pour le rectangle initiale la longueur est L+l et la largeur L. On a O=L/l et L+l/L = L/l. Montrer alors que O vérifie l'équitation x²-x-1=0.

Tu n'arrives peut être pas à le résoudre, mais il n'est pas "impossible" !

On a :
(L+l)/L = L/l
Donc : L/L + l/L = L/l
1 + l/L = L/l
1 + 1/(L/l) = L/l
Et comme L/l = O
1 + 1/O = O
(1 + 1/O) * O = O * O
O + 1 = O²
Ce qui donne ce qu'on te demande ...

Jusque là, ça va ?

Pour la question suivante, résous cette équation du second degré ...

[Marie699]

Tu n'arrives peut être pas à le résoudre, mais il n'est pas "impossible" !

On a :
(L+l)/L = L/l
Donc : L/L + l/L = L/l
1 + l/L = L/l
1 + 1/(L/l) = L/l
Et comme L/l = O
1 + 1/O = O
(1 + 1/O) * O = O * O
O + 1 = O²
Ce qui donne ce qu'on te demande ...

Jusque là, ça va ?

Pour la question suivante, résous cette équation du second degré ...

Bonjour, merci pour la première question j'étais pas loin mais je n'avais pas réussi a aller jusqu'au bout. Voilà ce que je trouve pour la question A 2) :
x^2-x-1=0
Delta = b^2-4ac
Delta = (-1)^2-4X1X(-1)=5
Delta > 0 donc 2 solutions :
X1 = -b+racine delta / 2a
X1 = 1+ racine 5 /2
X1 = 1,618

X2 = -b- racine delta / 2a
X2= 1- racine 5 / 2
X2 = -0,618

Les solutions de l'équitation sont [1,618 ; -0,618]
Le problème c'est que l'énoncé dit LA valeur de O (donc x) alors je me suis peut être trompée ?!

Pour la partie B comment je peux faire la récurrence ? Je ne comprend pas avec Vn+1

[mathelot]

Les solutions de l'équitation sont [1,618 ; -0,618]

cette démo, c'est du saut d'obstacles.

:zen:

[Marie699]

cette démo, c'est du saut d'obstacles.

Pourquoi du saut d'obstacles ? J'ai pourtant fait toutes les étapes...