Double intégrale de fonction inconnue

[leptitdrop15]

Bonjours à tous, je ne suis pas sur que le titre soit clair mais mon problème est le suivant :
Trouver f(x) tel que d²f/dx²+(1/x)df/dx=constante.
La solution est peut être trivial mais impossible de la trouver donc si quelqu’un pouvez aider.

Je vous remercie.

[WillyCagnes]

bsr,

une solution F(x) =a.X² +b
F'(x)=2ax
F''(x)=2a

F"(x) +1/xf'(x)=2a + 2a = 4a=Cte

[zygomatique]

Bonjours à tous, je ne suis pas sur que le titre soit clair mais mon problème est le suivant :
Trouver f(x) tel que d²f/dx²+(1/x)df/dx=constante.
La solution est peut être trivial mais impossible de la trouver donc si quelqu’un pouvez aider.

Je vous remercie.

il suffit de poser g = f' ....

[leptitdrop15]

bsr,

une solution F(x) =a.X² +b
F'(x)=2ax
F''(x)=2a

F"(x) +1/xf'(x)=2a + 2a = 4a=Cte

Je vous remercie. Effectivement cela marche bien. La solution est facile, seriez vous m'expliquer le déroulement parce que je n'avais pas trouvé la solution du premier coup, je n'ai pas réussi à la trouver "par le calcul" en faisant les deux intégrations successives.

[WillyCagnes]

tu pars de

(1/x)df/dx=constante=a
df= a(x).dx
f= a.x²/2 +b

F(x) de la forme Ax² +b

[zygomatique]

pardon je n'avais pas vu le "= constante" .... :cry:

f" + f'/x = c

on pose g = f' donc

g' + g/x = c


1/ g' + g/x = 0

donc g(x) = aexp(-ln(x)) = a/x

2/ méthode de la variation de la constante ....

g(x) = a(x)/x donc g'(x) = a'(x)/x - a(x)/x²

g' + g/x = a'(x)/x = c <=> a'(x) = cx <=> a(x) = cx²/2 + b

donc g(x) = cx/2 + b/x

et f(x) = cx²/4 + bln(x) + d


vérifions :

f(x) = cx²/4 + bln(x) + d
f'(x) = cx/2 + b/x
f"(x) = c/2 -b/x²


et f" + f = c



autre méthode ::

f" + f'/x = c <=> xf" + f' = cx <=> (xf')' = cx <=> xf' = cx²/2 + b <=> f' = cx/2 + b/x <=> f = cx²/4 + bln(x) + d


et je saute de joie ...

:zen:

[leptitdrop15]

pardon je n'avais pas vu le "= constante" ....

f" + f'/x = c

on pose g = f' donc

g' + g/x = c


1/ g' + g/x = 0

donc g(x) = aexp(-ln(x)) = a/x

2/ méthode de la variation de la constante ....

g(x) = a(x)/x donc g'(x) = a'(x)/x - a(x)/x²

g' + g/x = a'(x)/x = c a'(x) = cx a(x) = cx²/2 + b

donc g(x) = cx/2 + b/x

et f(x) = cx²/4 + bln(x) + d


vérifions :

f(x) = cx²/4 + bln(x) + d
f'(x) = cx/2 + b/x
f"(x) = c/2 -b/x²


et f" + f = c



autre méthode ::

f" + f'/x = c xf" + f' = cx (xf')' = cx xf' = cx²/2 + b f' = cx/2 + b/x f = cx²/4 + bln(x) + d


et je saute de joie ...

:zen:

Merci beaucoup pour votre aide.