DM complexes

[math41]

Bonjour,

J'ai un exercice de mon devoir maison de Maths que je n'ai pas compris.

Exercice 1:

On donne z = 1+cos (alpha) + i sin (alpha), où alpha appartient à [0;pi].

1) En remarquant que alpha=2*(alpha/2) puis en utilisant les formules cos2(theta)=2cos²(theta)-1 et sin2(theta)=2sin(theta) cos(theta), simplifier l'écriture de z.

2) En déduire le module et l'argument de z. Justifiez soigneusement.


Pour la question 1), j'ai fait ça :

z=1+cos (alpha) + i sin (alpha)
z=1+cos(2alpha/2) + i sin (2alpha/2)
z=2cos²(alpha/2) + 2 i sin (alpha/2) cos (alpha/2)

Ensuite, je suis bloqué...

Si vous pourriez m'aider

Merci d'avance.

[gigamesh]

Tu as presque fini !
Mets 2 cos(alpha/2) en facteur.

[zygomatique]

salut

l'alphabet français compte 26 largement suffisantes pour se passer de l'alphabet grec .... :cry: :mur:

pour finir il suffit de factoriser ...

[mathelot]

z = 1+cos (alpha) + i sin (alpha)

z= 2cos(alpha:2)(au carré) + 2i sin(alpha:2)cos(alpha:2)

z= 2cos(alpha:2) (cos(alpha:2) + i sin(alpha:2))

z=2 cos(alpha:2) exp(i alpha:2)

[mathelot]

salut

l'alphabet français compte 26 largement suffisantes pour se passer de l'alphabet grec .... :mur:

pour finir il suffit de factoriser ...

ce n'est pas l'alphabet français, c'est l'alphabet latin (ou romain)

ici

[zygomatique]

z = 1+cos (alpha) + i sin (alpha)

z= 2cos(alpha:2)(au carré) + 2i sin(alpha:2)cos(alpha:2)

z= 2cos(alpha:2) (cos(alpha:2) + i sin(alpha:2))

z=2 cos(alpha:2) exp(i alpha:2)

:mur:

[Carpate]

message supprimé

[math41]

Merci pour vos réponses.

Et pour la 2ème question:

module : |z|=racine(a²+b²)=racine((2cos(alpha)/2)²+(alpha/2)²)

Et argument = ??

[Carpate]

Merci pour vos réponses.

Et pour la 2ème question:

module : |z|=racine(a²+b²)=racine((2cos(alpha)/2)²+(alpha/2)²)

Et argument = ??

est un réel
est le complexe de module et d'argument
Donc le module de z est ... et son argument est ...

[math41]

Donc le module de z est 2cos(alpha/2) et son argument est (alpha/2).
C'est bien ça ?

[Carpate]

Donc le module de z est 2cos(alpha/2) et son argument est (alpha/2).
C'est bien ça ?

oui
cours :
le module d'un produit de complexes est le produit des modules de ces complexes
l'argument d'un produit de complexes est la somme des arguments de ces complexes (ici et )

[math41]

D'accord. Merci à vous pour vos réponses.

[mathelot]

Donc le module de z est 2cos(alpha/2) et son argument est (alpha/2).
C'est bien ça ?

Le module est toujours positif, le cosinus est positif selon les valeurs de alpha.