Suites

[theluckyluke]

Bonjour tout le monde,

en fait, je ne suis pas sûr d'un exo, j'aurais voulu que quelqu'un me dise si ce que j'ai fait est bon ou pas.

Voilà l'exo :


est une suite définie par et par pour tout

- On doit démontrer que pour tout n, .
- Montrer que la suite est strictement croissante.



Ce que j'ai trouvé :

On définit avec


Donc on a

Donc quand , tend vers et tend aussi vers ainsi que

On procède pareil pour montrer que

Donc quand , tend vers et tend aussi vers ainsi que .

Or

Donc pour tout n,


Voilà, je rédige la seconde partie, vous pouvez me dire si la première est juste?

Merci d'avance.

[Sdec25]

Salut
Pour démontrer que j'aurais raisonné par récurrence :
. La fonction f est strictement croissante sur [0, 1] donc

Pour montrer que la suite est croissante on peut calculer u(n+1)/u(n) ou u(n+1)-u(n)

[theluckyluke]

Ce que j'ai trouvé pour la seconde partie :

On utilise la dérivée de la fonction qui a été définie dans la question précédente :

Donc

On dit que cette dérivée est postive pour tout x réel car et que

Donc la fonction est strictement croissante, donc aussi donc la suite aussi.


Est-ce que cela marche aussi pour strictement croissante?

[theluckyluke]

Salut
Pour démontrer que j'aurais raisonné par récurrence :
. La fonction f est strictement croissante sur [0, 1] donc

merci pour ta réponse, mais quand tu dis que la fonction est croissante, cela ne fait-il pas déjà référence à la deuxième question?

[theluckyluke]

Pour montrer que la suite est croissante on peut calculer u(n+1)/u(n) ou u(n+1)-u(n)

Est-ce que cela marche aussi pour strictement croissante?

[Mickette]

oui je pense que cela marche car on a prouver dans un cadre dénéral que UN+1 était supérieur a UN

[Sdec25]

mais quand tu dis que la fonction est croissante, cela ne fait-il pas déjà référence à la deuxième question?

Non c'était pour pouvoir appliquer la fonction à l'inégalité.

[theluckyluke]

Non c'était pour pouvoir appliquer la fonction à l'inégalité.

dsl, mais en fait je comprends pas d'ou tu sors que la fonction est strictement croissante et je ne comprends pas pourquoi avec les limites ça ne marche pas.

Merci

[Sdec25]

Pour montrer que la fonction est strictement croissante on fait comme tu l'as démontré (avec la dérivée).
Et pour dire que si a

[theluckyluke]

Pour montrer que la fonction est strictement croissante on fait comme tu l'as démontré (avec la dérivée).
Et pour dire que si a<x<b, alors f(a)<f(x)<f(b), on doit dire que f est croissante.

oui mais montrer que la fonction est croissante, on le fait dans la question 2, donc je ne suis pas sur qu'on en ait vraiment besoin dans la une, c'est ce qui est bizarre.

[Sdec25]

Si on le montre dans la question 1 on ne le remontre pas dans la question 2.
Et puis pour la question 2 on peut calculer u(n+1)/u(n) ou u(n+1)-u(n)

[theluckyluke]

Si on le montre dans la question 1 on ne le remontre pas dans la question 2.
Et puis pour la question 2 on peut calculer u(n+1)/u(n) ou u(n+1)-u(n)

d'accord, je vais voir comme ça... je redige et vous me dite si ça peut aller...

Merci beaucoup

[Sdec25]

ok pas de problème :we:

[theluckyluke]

alors je trouve :

[theluckyluke]

question 1 : on sait que or f(x) est croissante (cf question 2 avec la dérivée) donc aussi et est une suite croissante.

On remarque que quand Un=0 avec la fonction associée on a : lim quand x tend vers 0, ..... f(x) tend vers 2/3

et que quand Un=1 on a avec la fonction associée, lim quand x tend vers 1, ..... f(x) tend vers 0 donc on peut conclure que

et donc que ainsi que


question 2 :

si je fais : je trouve avec U_n=0 c'est positif, mais avec U_n=1, je ne sais pas comment prouver que c'est positif

[Sdec25]

Pour la question 1 le fait que f est croissante nous permet juste d'écrire l'égalité :

Et par récurrence on démontrer que c'est vrai pour tout n.

Pour la 2 en fait on a meilleur temps d'utiliser le sens de variation de f.