Exercice suites (Term S)

[jeremy42]

Bonjour , je bloque sur un exercice sur les suites
soit la suite définie par recurence :
Un+1 = (1/2)xUn + n² + n ==> Relation [R]
et Uo = a

1) Déterminez un polynôme du second degré P(x) de façon que la suite (An) de terme général An = P(n) vérifie la relation [R]

2) Démontre que la suite (Vn) de terme général Vn = Un - An est une suite géometrique.

3) Exprimez Vn pui sUn en fonction de n et de a

Voilà donc si vous pouviez m'éclairer ce serait très sympas
merci d'avance!

[titine]

Bonjour.
Cela signifie que l'on cherche a, b et c tels que le polynome
P(x) = ax² + bx +c
vérifie :

P(n+1) = 1/2 P(n) + n² + n
C'est à dire : a(n+1)² + b(n+1) + c = 1/2(an² + bn +c) + n² + n.
on développe et onn identifie pour trouver a, b et c ...

Je n'ai pas fait le calcul mais ça ne doit pas poser de problème ...

[Ivanovich]

P(n) est un trinome.
P(n) = An² + Bn + C
a(n) = P(n) doit vérifier [R].
Si a (n) vérifie [R] on a :

a (n+1) = 1/2 a(n) + n² + n

a(n) = P(n)

P(n+1) = 1/2 P(n) + n² +n , or An² + Bn + C = P(n)
on a donc : P(n+1) = A (n+1)² + B(n+1) + C
A(n+1)² + B(n+1) + C = 1/2 ( An² + Bn + C) + n² + n
An² + 2An + A + Bn + B + C = 1/2 An²+1/2Bn+1/2C+n²+n
An²+n (2A + B) + (A+B+C) = n²(1/2 A + 1) + n(1/2B +1) + 1/2 C

tu identifie tout simplement pour trouver :

P(n) = 2n² - 6n + 8.

La premiere question résolue, le reste vient tout seul.

Voila bonne journée ^^