Raisonnement par récurrence

[najnaj89]

Bonjour a tous,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice, voici l'énoncé :

Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a

n
;)k^3 =
k=1

n
(;)k )²
k=1

(désolée si c'est incompréhensible je ne sais pas comment l'écrire plus clairement)

ou, si l'on préfère : 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Voila, j'ai initialisé pour n=1 mais pour l'hérédité j'ai vraiment du mal... :help:

[Manny06]

Bonjour a tous,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice, voici l'énoncé :

Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a

n
k^3 =
k=1

n
(;)k )²
k=1

(désolée si c'est incompréhensible je ne sais pas comment l'écrire plus clairement)

ou, si l'on préfère : 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Voila, j'ai initialisé pour n=1 mais pour l'hérédité j'ai vraiment du mal... :help:

utilise 1+2+3+......+n=n(n+1)/2

[najnaj89]

Oui mais le calcul de la somme varie si c'est une suite géométrique ou arithmétique, et la il me semble que la première c'est ni l'un ni l'autre..

[Manny06]

Oui mais le calcul de la somme varie si c'est une suite géométrique ou arithmétique, et la il me semble que la première c'est ni l'un ni l'autre..

1+2+3+......+n est la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et raison 1 donc (1+2+....+n)=n(n+1)/2

on suppose 1³+2³ +.......+n³=(1+2+....+n)²=n²(n+1)²/4

1³+2³+.......+n³+(n+1)³=n²(n+1)²/4+(n+1)³
mets (n+1)² en facteur et réduis au même dénominateur

[najnaj89]

Je m'embrouille...
Deja si je met au même dénominateur ça donne
n²(n+1)²+4(n+1)³/4
C'est bien ça ?

[mathelot]

[mathelot]

[najnaj89]

Peux tu écrire les différentes étapes de ton calcul?

[mathelot]

c'est fait, simple factorisation par

j'ai corrigé l'erreur

[najnaj89]

C'est tout bon, merci beaucoup ! :)
Bonne continuation

[paquito]

[najnaj89]

Oula euh par contre il sort d'où ce 2?

[paquito]

=cest une ereur de atex, en ait il faut lire :

[paquito]

[quote="paquito"]=cest une ereur de atex, en ait il faut lire :

[/TEX]

[najnaj89]

Je n'ai pas compris...
Ce n'est pas bon ce que mathelot a fait ?

[mathelot]

si, excellent.

[najnaj89]

D'accord génial, merci encore