Continuité

[sosoOM77]

Bonjour,

Je n'arrive pas cet exercice, pourriez vous m'aidez svp?

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction h définie sur [0;10] : ( photo )

On note r un nombre réel quelconque.
1) Pour quelles valeurs de r l'équation h(x)=r ne possède aucune solution dans [0;10] ? Justifier.
2) Pour quelles valeurs de r l'équation h(x)=r possède-t-elle 3 dans [0;10] ? Justifier.
3) Pour quelles valeurs de r l'équation h(x)=r possède-t-elle 1 solution dans [0;10] ? Justifier.

Merci d'avance !

[sosoOM77]

Pour la 1) j'ai trouvé:
(Sur)l'intervalle [0;10] f est continue, son minimum est 0 et son maximum 7, donc l'équation h(x) = r n'admet aucune solution lorsque r est strictement négatif ou strictement supérieur à 7.
Je bloque sur les 2 autres ... :mur: :mur:

[keofran]

D'abord intuiter que les images de la fonction passent 3 fois par l'intervalle ]4;6] (de gauche à droite dans le tableau, les images h(x) prennent les valeurs de 0 jusqu'à 7 puis 7 jusqu'à 4 et enfin 4 jusqu'à 6).

Ensuite il faut partager le domaine de définition en autant d'intervalles qu'il y a de variation (ici 3) et rédiger en utilisant le théorème de la bijection, appelé aussi corollaire du TVI.

[sosoOM77]

Merci de ta réponse :)
Donc pour la 2) comment je rédige la phrase ?

[keofran]

Merci de ta réponse
Donc pour la 2) comment je rédige la phrase ?

Fais un essai et je te dirai, c'est mieux pour comprendre et s'en souvenir.

[sosoOM77]

Ok

Alors pour quelles valeurs de r l'équation h(x)=r possède-t-elle 3 solutions dans [0;10] ? Justifier.

Sur l'intervalle 0;10 , f est continu , les images h(x) prennent les valeurs de 0 jusqu'à 7 puis 7 jusqu'à 4 et enfin 4 jusqu'à 6 donc admet 3 solutions ?

[keofran]

hum... tu as répété ce que j'ai écrit, c'est un peu léger... et en plus c'est incomplet puisque tu ne précises pas les valeurs de r. En plus cette explication est destinée à comprendre intuitivement mais la rédaction mathématique demande de la rigueur en citant les propriétés et théorèmes du cours.

Il faut prendre un intervalle pour x sur lequel la fonction est continue et strictement monotone. On peut alors utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (le connais-tu ?) qui nous permet d'affirmer qu'il existe un unique antécédent dans cet intervalle pour toute valeur de l'intervalle image.

On refait le raisonnement 3 fois sur 3 intervalles différents mais vers un intervalle image unique (ici ]4;6]) et on a 3 solutions.

[sosoOM77]

Oui pour le TVI il faut que f soit continu et strictement monotone sur un intervalle donné
mais quel intervalle prendre ?
[3;9]?

[sosoOM77]

pr la 2) : l'équation h(x)=r possède 3 solutions lorsque r est entre 4 et 6 ? :we:

[sosoOM77]

Alors ?? :mur: :mur:

[mathelot]

oui,

pour la (3), réunion de deux intervalles disjoints