Etude de la continuité de la fonction racine carré

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Patrice20
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Etude de la continuité de la fonction racine carré

par Patrice20 » 17 Nov 2020, 01:26

Salut
Je cherche des justifications concernant les deux propositions
la continuité de la fonction racinecarré(x)
1er proposition) elle est continue sur ]0,+infini[
2em proposition)elle est continue sur[0,+infini[
Svp qu elle est la bonne réponse(en justifiant votre réponse ).
Peut on généraliser le résultat pour la fonction g définie par g(x)=racine(f(x))
Merci bien amicalement



pascal16
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par pascal16 » 17 Nov 2020, 10:34

la différence entre les deux propositions est en 0.
racine(0)=0

quand x (positif) devient très petit, est ce que racine(x) devient petit ?
si oui, elle est continue en 0.


pour sa dérivée, c'est une autre histoire.

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mathelot
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par mathelot » 17 Nov 2020, 19:40

bonsoir,
pour montrer que est continue en
on choisit un petit intervalle centré en de rayon r, inclu dans le domaine de définition
avec

Pour on a, en utilisant la quantité conjuguée de


Cette inégalité montre que est continue en
donc sur

En x=0 , il vient:
soit epsilon un nombre positif strictement:
on a l'implication


donc peut être rendue arbitrairement petite pour x suffisamment petit

Patrice20
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par Patrice20 » 18 Nov 2020, 02:04

Je vous remercie infiniment mathelot et pascal16 pour vous réponses
Mais
j aime bien comprendre pourquoi dans certains dans livres adoptent les deux propositions différentes
+la fonction racine carré(x) est continue sur ]0,+infini[ (ouvert en 0) et la fonction racine carré(x)d autres est continue sur[0,+infini[ ( fermé en 0) .
svp donner plus d explications

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mathelot
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par mathelot » 18 Nov 2020, 17:05

La propriété demandée est
"la fonction racine est continue sur l'intervalle [0;+oo[", ce qui veut dire continue sur l'ouvert] 0,+oo[ et continue à droite en x=0

pascal16
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par pascal16 » 19 Nov 2020, 11:07

c'est une question type QCM.

il n'y a aucun problème de continuité en 0, on ne devrait même pas se poser la question
elle n'est par contre pas dérivable en 0, elle y a une asymptote verticale

soit à retenir : " la fonction racine carré est continue sur[0,+infini[, dérivable sur ]0,+infini[ "

Patrice20
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par Patrice20 » 20 Nov 2020, 02:30

Merci pour vous messages
svp dans certains livres ils disent que
la fonction racine carré est continue sur ]0,+infini[
est ce qu il y a une relation avec la continuité en un point x0 lorsqu'une fonction est définie dans un ouvert ( x0 ne soit l une des extrémités de l ouvert ]a,b[
expliquer moi svp ce choix

pascal16
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Re: Etude de la continuité de la fonction racine carré

par pascal16 » 21 Nov 2020, 10:56

C'est pour ça que ma réponse est orientée QCM de bac.

On peut remarquer que la définition de la continuité par des suites marche bien avec "continue sur[0,+infini[".
ex : racine définie sur R+.
pour toute suite d'éléments Un de R+ tendant vers 0, racine(Un) tend vers racine(0)=0.


La continuité à gauche ou à droite n'est valable que pour des fonctions définies sur un espace à 1 seule dimension (de R dans R généralement). Quand on généralise la continuité sur des fonctions de plusieurs variables par des boules ouvertes (des ouverts) autour du point considéré inter le domaine de définition, on retombe sur "continue sur[0,+infini[".

 

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