Limite d'une intégrale

[Wenly]

Bonjour,

J'ai des doutes sur ce qu'on peut ou non faire quand on doit calculer la limite d'une intégrale:

Calculer



Est-ce qu'on peut se contenter de dire

Puis calculer ?


Même question:



Et on calcul ?


Merci

[deltab]

Bonsoir.

En général, on ne peut pas permuter passage à la limite et intégration. Les théorèmes qu'on utilise pour faire la permutation sont des conditions suffisantes (Convergence uniforme).
Pour , essaies de minorer sur [0,1].
Pour , calcules l'intégrale (2 IPP) ou cherches une primitive de sous la forme , et étant des polynômes de degré 2.

[M.Floquet]

Tu peux surement essayer d'appliquer le théorème de convergence dominée

[vingtdieux]

Integrand est une fonction positive decroissante. Encadrer l'integrale en utilisant cos (0) et cos(1). Il reste a calculer l'integrale de l'expo et voir pour n tendant vers l'infini.

[Ben314]

Salut,
Il y a des tonnes de méthodes assez différentes qui peuvent donner le résultat dans ce genre de problèmes.
Ici, c'est des cas extrêmement simples donc... à peu prés toute les méthodes marchent...

A mon avis, le plus simple est effectivement de procéder par encadrement, par exemple pour la deuxième, pour x "assez petit" (à préciser...), lorsque t varie de 0 à 1, cos(xt) reste compris entre cos(x) et 1 donc (1-t²)cos(xt) est compris entre (1-t²)cos(x) et (1-t²). Tu intègre et tu conclue.
Idem pour la première intégrale.

Sauf que si tu vient de voir la notion de convergence uniforme de fonctions, c'est peut-être des exercices d'application de cette notion...

[Wenly]

Je ne connais pas la convergence uniforme ou le théorème de la convergence dominée mais j'ai pu résoudre les exercices par la méthode des encadrements.

Encore merci.

[jlb]

Bonjour,

comment exprimer la valeur de ?

( cela doit fonctionner en développant en série entière, connaissez-vous d'autres méthodes?)

merci.

[Ben314]

Salut,
Tu entend quoi par "exprimer" dans ce cas là ?
Je ne pense pas qu'on puisse exprimer la valeur de cette intégrale à l'aide des fonctions usuelles donc...

[Ericovitchi]

Quand c'est de 0 à l'infini, c'est connu, ça s'appelle l'intégrale de Fresnel. Mais de 0 à 1, on ne peut pas l'exprimer de façon exacte, on ne peut que donner sa valeur en utilisant une fonction (qui s'appelle l'intégrale de Fresnel aussi d'ailleurs) ou une valeur approchée ~0.904524

[jlb]

Merci Ericovitchi et Ben pour vos réponses.(obtenir une expression à partir de fct usuelles ou obtenir une valeur approchée par une méthode ou une autre).
Par contre, comment "voit-on" si on peut exprimer ou non à l'aide de fct usuelles de telles expressions?
{si bien sur, c'est accessible niveau licence, merci en tout cas}

[Ericovitchi]

Ça, c'est pas une question simple. Je ne connais pas de méthode qui permette de dire si une primitive d'une fonction peut s'exprimer ou non à partir de fonctions usuelles. D'ailleurs déjà la notion de fonction usuelle n'est pas clairement définie. La preuve c'est qu'on peut inventer des fonctions usuelles autant que de besoin.

[Joker62]

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Liouville_(algèbre_différentielle)[/url]

[M.Floquet]

Je ne connaissais pas ce théorème de Liouville, je me souviens avoir traité celui sur l'arithmétique

[Black Jack]

Bonjour,

comment exprimer la valeur de ?

( cela doit fonctionner en développant en série entière, connaissez-vous d'autres méthodes?)

merci.

Tout dépend de ce qu'on veut faire du résultat (donc de la précision attendue).

Le développement en série entière, amène ici une série convergente qui permet d'avoir assez rapidement une valeur assez bonne (toujours évidemment voir ce qu'on a vraiment besoin comme précision).

cos(x²) = 1 - x^4/2! + x^8/4! - x^12/6! + ...

S cos(x²) dx = x - x^5/(5*2!) + x^9/(9*4!) - x^13/(13*6!) + ...

S(de 0 à 1) cos(x²) dx = 1 - 1/(5*2!) + 1/(9*4!) - 1/(13*6!) + ...

Par Leibniz, cette série est convergente et l'erreur faite en s'arrêtant à un certain terme est inférieure ou égale en valeur absolue au 1er terme négligé.

Exemple ; si on prend : S(de 0 à 1) cos(x²) dx = 1 - 1/(5*2!) + 1/(9*4!), l'erreur faite est en valeur absolue <= à 1/(13*6!)

Donc, même en se limitant à 3 termes, on trouve :
S(de 0 à 1) cos(x²) dx = 1 - 1/(5*2!) + 1/(9*4!) = 0,9046296...
valeur à moins de 1/(13*6!) = 1,068.10^-4 près
Précision meilleure que 0,0118 %

Et avec quelques termes de plus ...

:zen: