Loi normale

par **JustLili** » 22 Avr 2014, 17:22

Bonjour,
Je bloque sur un exercice :mur: Je n'ai jamais fait ça avec mon professeur, après plusieurs recherches, je n'ai pas trouvé de solution !

Voici l'intitulé :

" On s'intéresse à l'autonomie des véhicules électriques, tous identiques, proposés en libre service dans une grande ville. Un histogramme est réalisé, indiquant la répartition de ces véhicules selon leurs kilomètres d'autonomie. Il suggère que l'autonomie d'un véhicule se modélise par une loi normale d'espérance u et d'écart type o ( ce n'est pas un zéro ) .
On suppose que l'intervalle de fluctuation, au seuil de 95% , de l'autonomie en km d'un véhicule pris au hasard est l'intervalle [ 104 ; 136 ] .

1a) Déterminer les paramètres u et o

b) Calculer P ( 104 inférieur ou égal X inférieur ou égal 136 )

2) Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte.

Calculer la probabilité que l'autonomie d'un véhicule électrique pris au hasard s'écarte de l'espérance u d'une valeur égale à une fois l'écart type o .
On pourra représenter cette probabilité. "

Voilà voilà :cry:

Merci de votre attention, en espérant de l'aide

:++:

par **Robic** » 22 Avr 2014, 17:52

Bonjour ! L'espérance est probablement notée

(mu minuscule) et l'écart-type

(sigma minuscule), c'est la notation la plus courante.

Est-ce que le problème est juste dans la 2ème question ? C'est une question de recherche, donc le but n'est pas de trouver une solution mais d'essayer. Est-ce que tu as traduit l'énoncé par une égalité ? Et si oui (j'espère), est-ce que tu as des idées ? Si tu as eu une idée qui n'a pas marché, il faut la mettre dans la rédaction. Est-ce que tu as dessiné cette probabilité ? Si oui, là aussi, ça doit figurer dans la rédaction.

J'espère que ceux qui interviendront ne te donneront pas la solution mais juste des pistes, histoire de ne pas gâcher le plaisir... (En fait, c'est surtout pour dire ça que je voulais intervenir, vu que je ne donne aucune réponse.)

par **JustLili** » 22 Avr 2014, 20:10

Merci pour ta réponse !
Oui c'est comme ça que l'espérance et l'écart-type se notent :) Du moins, c'est comme ça qu'on me l'a appris.

J'aurai bien aimée être bloquer à la 2eme question, malheureusement c'est la toute première ^^"
Je pense que la méthode doit être simple, mais je ne l'ai pas.
D'habitude, l'espérance et l'écart-type sont donnés... C'est juste une méthode que je n'ai pas, j'ai presque honte car je suis sûre que c'est tout bête. :doh:

La question 1b, ne me posera pas de problème, je verrai ensuite pour la question 2.

Tu as raison de ne pas donner les réponses ! C'est toujours un plaisir de chercher et de finir par trouver la solution ! Mais quand je bloque... :mur: :triste: :marteau:

par **Robic** » 22 Avr 2014, 20:23

OK, commençons par la question 1.

Est-ce que tu peux rappeler la définition du cours de l'intervalle de fluctuation ? Tu pourrais l'écrire ici (ça m'évitera de dire des bêtises parce que c'est une formule compliquée... :lol3: (*)) Ensuite, identifie la borne inférieure de l'intervalle à 104, et la borne supérieure à 136 (ces bornes sont bien sûr écrites en terme de calcul littéral). Ça devrait te faire avancer. L'idée, c'est qu'on ne connaît pas mu et sigma, ce sont donc des inconnues, aussi on a besoin d'équations pour les déterminer. Avec un peu de chance, le fait d'identifier les bornes de l'intervalle défini dans le cours à 104 et 136 devrait fournir deux équations.

(*) Je ne me souviens plus des formules. Le problème est que, dans le programme de terminale, on fait les choses à moitié (j'avoue que j'aime pas du tout la façon dont c'est présenté), donc il faut que je fasse attention à ne pas te parler de choses hors-programme. J'ai lu en diagonale un cours de terminale trouvé sur Internet et apparemment les intervalles de fluctuations sont prédéfinis une fois pour toutes avec comme bornes

et

(avec

=1,96 pour un seuil de 95 %) ou quelque chose de ce genre, mais je ne suis pas sûr aussi je préfère que tu indiques la définition de ton cours.

par **JustLili** » 22 Avr 2014, 21:03

Mon cours :

Intervalle de fluctuation " 2;) "

Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance µ et d'écart type

.
L'événement { X

( µ - 2;) ; µ + 2;) ) } a pour probabilité P ( µ - 2;)

X

µ + 2;) )

0,954 obtenue à la calculatrice ou au tableur.

Définition :L'intervalle I2;) = ( µ - 2;) ; µ + 2;) ) est l'intervalle de fluctuation " 2;) " au seuil approximatif de 95% ou plus simplement l'intervalle de la fluctuation de la variable à 95%.
On peut dire qu'environ 95% des valeurs prises par X sont dans l'intervalle [ µ-2;) ; µ+ 2;) ]
Remarque : P ( µ -

X

µ +

)

0,683 et P ( µ - 3;)

X

µ + 3;) )

0,997

Voilà voilà... Et j'ai l'impression que ma réponse ne va pas du tout t'aider. Je comprends rien. :briques:

par **Robic** » 22 Avr 2014, 21:12

OK, j'ai compris !

Ce que dit le cours, c'est que la probabilité que X soit dans l'intervalle [µ - 2;) ; µ + 2;)] est de 0,954. Pour comprendre ce que ça signifie, tu peux faire un dessin de ce genre là : http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0499/forum_499985_2.jpg (trouvé au hasard avec Google). Sauf que dans ton cours les valeurs sont -2;) et +2;) en abscisse et que les aires coloriées font 2,3 % et non 2,5 % (de sorte que l'aire non colorée correspond à 95,4 % et non à 95 %). Je te conseille de bien comprendre ces dessins.

Je trouve que les définitions que tu as sont nettement plus simples que les grosses formules imbuvables que j'avais trouvées tout à l'heure. Là ton prof a trouvé le moyen de présenter les choses de façon nettement plus simple, ça me plaît !

Bref, dans l'énoncé, on nous dit que cet intervalle est [104 ; 136]. Donc forcément, on a :

= 104,

= 136.

Ce sont les deux équations dont je parlais (d'inconnues

et

). À toi de les résoudre (ici, il est astucieux - et tu dois y penser - d'additionner et de soustraire les lignes).

Pour la deuxième question, tu as dû remarquer que 104 et 136 sont précisément les valeurs de l'intervalle de fluctuation. Donc il suffit de lire le cours pour connaître la probabilité que X soit dans cet intervalle.

Pour la question de recherche, il faut que tu traduises la phrase « l'autonomie d'un véhicule électrique pris au hasard s'écarte de l'espérance u d'une valeur égale à une fois l'écart type

» en terme statistiques (avec des X, des intervalles, tout ça). Par exemple si tu notes X la variable aléatoire qui décrit l'autonomie d'un véhicule pris au hasard, quelles valeurs de X correspondent à l'énoncé ? Et là aussi, n'hésite pas à faire un dessin du genre de celui plus haut. (Du coup la question de recherche me paraît excessivement simple, ce qui est suspect. Il y a peut-être un truc qui m'a échappé...)

par **JustLili** » 22 Avr 2014, 21:41

:shock: Ouaouuuu ! Bravo à toi ! :+++: :+++:

D'accord, hum, bon là, je n'ai pas tout compris mais c'est peut être parce qu'il se fait un peu tard ! :girl2: mais je m'y penche bien demain, je pense que je comprendrai !

Je te répondrai :)

Merci beaucoup, bonne fin de soirée et bonne nuit :dodo:

par **Robic** » 22 Avr 2014, 21:52

Oui, prends bien ton temps à comprendre le cours avant de te lancer (et revois les exercices basiques qui ont été corrigés). Mais tu as de la chance, apparemment, d'avoir un cours un peu plus simple que celui que j'avais consulté. Imagine si tu devais comprendre ça : http://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/FichesCours/Echantillonnage.pdf (c'est celui que j'avais lu tout à l'heure - ils sont fous...)

par **Thomas Joseph** » 22 Avr 2014, 21:57

Un cours complet et abordable pour le niveau terminale (les formules utiles pour la première question sont page 48) :
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA02/AL7MA02TEPA0213-Sequence-09.pdf

par **paquito** » 23 Avr 2014, 09:13

Robic a écrit:OK, j'ai compris !

Ce que dit le cours, c'est que la probabilité que X soit dans l'intervalle [µ - 2;) ; µ + 2;)] est de 0,954. Pour comprendre ce que ça signifie, tu peux faire un dessin de ce genre là : http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0499/forum_499985_2.jpg (trouvé au hasard avec Google). Sauf que dans ton cours les valeurs sont -2;) et +2;) en abscisse et que les aires coloriées font 2,3 % et non 2,5 % (de sorte que l'aire non colorée correspond à 95,4 % et non à 95 %). Je te conseille de bien comprendre ces dessins.

Je trouve que les définitions que tu as sont nettement plus simples que les grosses formules imbuvables que j'avais trouvées tout à l'heure. Là ton prof a trouvé le moyen de présenter les choses de façon nettement plus simple, ça me plaît !

Bref, dans l'énoncé, on nous dit que cet intervalle est [104 ; 136]. Donc forcément, on a :
= 104,
= 136.

Ce sont les deux équations dont je parlais (d'inconnues et ). À toi de les résoudre (ici, il est astucieux - et tu dois y penser - d'additionner et de soustraire les lignes).

Pour la deuxième question, tu as dû remarquer que 104 et 136 sont précisément les valeurs de l'intervalle de fluctuation. Donc il suffit de lire le cours pour connaître la probabilité que X soit dans cet intervalle.

Pour la question de recherche, il faut que tu traduises la phrase « l'autonomie d'un véhicule électrique pris au hasard s'écarte de l'espérance u d'une valeur égale à une fois l'écart type » en terme statistiques (avec des X, des intervalles, tout ça). Par exemple si tu notes X la variable aléatoire qui décrit l'autonomie d'un véhicule pris au hasard, quelles valeurs de X correspondent à l'énoncé ? Et là aussi, n'hésite pas à faire un dessin du genre de celui plus haut. (Du coup la question de recherche me paraît excessivement simple, ce qui est suspect. Il y a peut-être un truc qui m'a échappé...)

Moi aussi, le cours me parait bizarre; on ne semble s'intéresser qu'à l'intevalle de fluctuation d'une fréquence expérimentale obtenue sur n essais, ce qui donne ces formules indigestes.
Mais si l'on suppose qu'une variable aléatoire suit une loi N(µ; Sigma), les résultats sont bien plus simple; on doit connaître les valeur 1,96 et 2,58 correspondant à 95% et 99%.

Sinon, pour moi, ce que l'on peut écrire, c'est µ-1,96sigma=104 et µ+1,96sigma=136, ce qui rend l'exercice très facile, mais tant pis!

par **JustLili** » 23 Avr 2014, 11:36

Robic a écrit:OK, j'ai compris !

Ce que dit le cours, c'est que la probabilité que X soit dans l'intervalle [µ - 2;) ; µ + 2;)] est de 0,954. Pour comprendre ce que ça signifie, tu peux faire un dessin de ce genre là : http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0499/forum_499985_2.jpg (trouvé au hasard avec Google). Sauf que dans ton cours les valeurs sont -2;) et +2;) en abscisse et que les aires coloriées font 2,3 % et non 2,5 % (de sorte que l'aire non colorée correspond à 95,4 % et non à 95 %). Je te conseille de bien comprendre ces dessins.

Je trouve que les définitions que tu as sont nettement plus simples que les grosses formules imbuvables que j'avais trouvées tout à l'heure. Là ton prof a trouvé le moyen de présenter les choses de façon nettement plus simple, ça me plaît !

Bref, dans l'énoncé, on nous dit que cet intervalle est [104 ; 136]. Donc forcément, on a :
= 104,
= 136.

Ce sont les deux équations dont je parlais (d'inconnues et ). À toi de les résoudre (ici, il est astucieux - et tu dois y penser - d'additionner et de soustraire les lignes).

Pour la deuxième question, tu as dû remarquer que 104 et 136 sont précisément les valeurs de l'intervalle de fluctuation. Donc il suffit de lire le cours pour connaître la probabilité que X soit dans cet intervalle.

Pour la question de recherche, il faut que tu traduises la phrase « l'autonomie d'un véhicule électrique pris au hasard s'écarte de l'espérance u d'une valeur égale à une fois l'écart type » en terme statistiques (avec des X, des intervalles, tout ça). Par exemple si tu notes X la variable aléatoire qui décrit l'autonomie d'un véhicule pris au hasard, quelles valeurs de X correspondent à l'énoncé ? Et là aussi, n'hésite pas à faire un dessin du genre de celui plus haut. (Du coup la question de recherche me paraît excessivement simple, ce qui est suspect. Il y a peut-être un truc qui m'a échappé...)

Je n'ai jamais résolu ce genre d'équation :triste:
J'ai l'impression d'être en S avec cet exercice, hors ce n'est pas le cas :--:

Merci "Thomas Joseph" ainsi que "Paquito" mais je ne comprends quand même pas :wrong:

par **Thomas Joseph** » 23 Avr 2014, 11:50

C'est un système d'équation tel que tu l'as vu en troisième.
En additionnant membre à membre les deux équations, tu obtiens mu (120, centre de l'intervalle)
Sigma s'obtient alors facilement.

par **JustLili** » 23 Avr 2014, 12:03

Thomas Joseph a écrit:C'est un système d'équation tel que tu l'as vu en troisième.
En additionnant membre à membre les deux équation, tu obtiens mu (120, centre de l'intervalle)
Sigma s'obtient alors facilement.

Ah oui c'est bon, je viens de comprendre, merci beaucoup ! :id2:

par **Robic** » 23 Avr 2014, 16:48

Ah, je viens de me rendre compte que j'avais relu un cours de terminale S, c'est pour ça sans doute qu'il est nettement plus compliqué que le tien. (N'empêche, ça peut être utile de préciser à quel niveau on est, histoire d'éviter des réponses qui se baseraient sur un niveau plus difficile.)

par **Bibi7** » 24 Avr 2014, 20:10

Bonsoir :)

D'après ce que j'ai compris pour la question de recherche, il suffirait de calculer P(104) et P(136) ?

par **Bibi7** » 24 Avr 2014, 20:11

J'ai le même exercice !

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