Suites

[63li]

bonjour
j'ai un exercice et je suis bloqué dans quelques questions

Uo=1/4


1) Mq pour tount n appartient a N 0<Un<1
2) Mq pour tount n appartient a N

b) Mq Un est croissante

3) a)Mq pour tount n appartient a N


b) en deduire que pour tount n appartient a N


c) deduire la limite de Un

4)soit


a) Mq n-1<Sn<n
b) en deduire lim en +;) de Sn et Sn/n


j'ai repondis sur 1 par recurence
et 2 mais j'ai pas pu montrer que Un est croissante (Un+1-Un)
j'ai repondis aussi sur 3)a
mais je suis bloquéé dans le reste
merci

[Thomas Joseph]

Pour 3b) : récurrence directe en utilisant 3a)
Pour 3c) : théorème d'encadrement

Bonne journée.

[paquito]

b) U(n+1)-Un>=(3+Un)/4-Un>=(Un² -Un)/4>=Un(Un-1)/4>=0 car Un>0 et Un<1
3)b récurrence facile (Un tend donc vers 1)
4)a On a Un <1 donc Sn on a Un>= 1-(3/4)(1/4)n, donc Sn>=n-Sig(0; n-1)(3/4)(1/4)^k; on utilise la somme d'une suite géométrique.
b)évident( +inf pour Sn et....)