Exercice de trigonométrie

[yaboo]

Bonjour,

Dans l'équation suivante, je ne comprends pas comment trouver les solutions :
dans l'intervalle

Voici ce que j'ai fais :







D'après le cours, je devrais trouver Mais comment et pourquoi ?

[low geek]

Bonjour, tes calculs sont justes jusque la ;)

tu as trouvé les solutions de l'équation, l'énoncé te demande maintenant de trouver la/les solution(s) dans l'intervale [4pi;6pi]

Pour cela il faut trouver la bonne valeure de k de ta solution pour que ton x soit dans l'intervale.
Or 4pi=48pi/12 et 6pi=72pi/12

ensuite tu sais que x= -pi/12+ 2kpi/3
tu met tout sur 12: x=(-pi+8kpi)/12

et ensuite tu as juste a résoudre 48pi/12< (-pi+8kpi)/12<72pi/12
c'est a dire 48pi< -pi+8kpi<72pi
et tu devrais trouver le résultat :)

[yaboo]

Merci pour ta réponse ! Cependant, je n'ai pas encore appris à résoudre ce type d'inéquation en cours...

[low geek]

Pas de soucis, je ne peux pas t'aider plus je ne vois pas comment faire autrement ;)

[yaboo]

Si je devais faire l'inéquation, j'aurais 49/8

[low geek]

Oui, sachant que k est un entier tu calcul ce que font 49/8 et 73/8 et tu as les valeurs de k qu'il faut ;)
tu as plus qu'a remplacer tes valeurs dans l'expression x=-pi/12+2kpi/3 pour avoir les valeurs qu'on te demandaient au départ.

[paquito]

sin(2x+pi/4)=sin(-x)<=>2x+pi/4=-x+2kpi ou 2x+pi/4=pi+x+2kpi<=>3x=-pi/4+2kpi ou x=3pi/4+2kpi<=>

x=-pi/12+2kpi/3 ou x=3pi/4+2kpi. Ensuite on donne des valeurs à k pour être dans le bon intervalle.










-pi/12=-,00333..pi, donc il faut ajouter 3pi+pi/3 pour être dans le bon intervalle. On peut ajouter 2 fois 2pi/3; après on dépasse 4pi. Pour l'autre solution, c'est encore plus facile.


































:

[Ben314]

On te fait un prix de gros sur la longueur de tes messages Paquito ? :lol3:

[yaboo]

Merci les gars ! Vous assurez ! Donc, je vais faire quelques exercices au pif, pourriez-vous me dire si les résultats sont bon ? (Je vais utiliser ici la technique de low geek)

Toujours résoudre les équations :

dans l'intervalle

OU

OU

OU

Donc : -2Pi = -4Pi/2 = -8Pi/4 ET Pi = 2Pi/2 = 4Pi/4

Ce qui donne



k va alors pouvoir prendre les valeurs de -2; -1; 0

On aura alors comme solutions

Et pour



k va alors pouvoir prendre les valeurs -4; -3; -2; -1; 0; 1

On aura alors comme solutions

Les solutions de cette équation sont donc

[paquito]

On te fait un prix de gros sur la longueur de tes messages Paquito ? :lol3:

Faut croire, ben! J'avais strictement rien demandé! Suis-je bavard?

[paquito]

Merci les gars ! Vous assurez ! Donc, je vais faire quelques exercices au pif, pourriez-vous me dire si les résultats sont bon ? (Je vais utiliser ici la technique de low geek)

Toujours résoudre les équations :

dans l'intervalle

OU

OU

OU

Donc : -2Pi = -4Pi/2 = -8Pi/4 ET Pi = 2Pi/2 = 4Pi/4

Ce qui donne



k va alors pouvoir prendre les valeurs de -2; -1; 0

On aura alors comme solutions

Et pour



k va alors pouvoir prendre les valeurs -4; -3; -2; -1; 0; 1

On aura alors comme solutions

Les solutions de cette équation sont donc

ton équation n°2 devrait être 3x=-pi+x+2kpi, ce qui ne change rien ici, mais....

[Black Jack]

sin(2x + Pi/4) = -sin(x)
sin(2x + Pi/4) = sin(-x)

a)
2x + Pi/4 = -x + 2k.Pi
3x = -Pi/4 + 2k.Pi
x = -Pi/12 + 2k.Pi/3

et on veut que 4Pi <= -Pi/12 + 2k.Pi/3 <= 6Pi

4 <= -1/12 + 2k/3 <= 6
48 <= -1 + 8k <= 72
49 <= 8k <= 73
6,125 <= k <= 9,125
et comme k doit être entier ---> k = 7, 8 ou 9

x1 = -Pi/12 + 14Pi/3 = 55Pi/12
x2 = -Pi/12 + 16.Pi/3 = 63Pi/12
x3 = -Pi/12 + 18.Pi/3 = 71.Pi/12
***
b)
2x + Pi/4 = Pi + x + 2k.Pi
x = 3Pi/4 + 2k.Pi

et on veut que 4Pi <= 3Pi/4 + 2k.Pi <= 6Pi
4 <= 3/4 + 2k <= 6
1,625 <= k <= 2,625
et comme k doit être entier ---> k = 2

x4 = 3Pi/4 + 4.Pi = 19Pi/4
***

S : {55Pi/12 ; 19Pi/4 ; 63Pi/12 ; 71Pi/12}

:zen:

[yaboo]

Merci ! Je pense avoir compris la technique grâce à vous !

ton équation n°2 devrait être 3x=-pi+x+2kpi, ce qui ne change rien ici, mais....

Ce "mais..." n'envisage rien de bon...

Sinon, comme le sujet se nomme "exercice de trigonométrie" je vais en profiter pour vous en demander encore un peu...
Dans le cas suivant, il faut déterminer cos x. (je n'ai pas le droit d'utiliser la formule cos²x + sin²x =1)

x un réel appartenant à et

- J'utilise en premier lieu arcsin (1/4).
- Puis je retire arcsin (1/4) à Pi OU j'ajoute arcsin (1/4) à Pi/2
- Je fais le cos des deux résultats trouvés

Est-ce que c'est bon ?

Cela me semble facile. De plus, je connaissais déjà le nombre de résultats possible grace à l'intervalle. Comment devrais-je m'y prendre si l'intervalle était plus grand ? (par exemple [-5Pi; 12Pi] ?)

[Robic]

Tu ne peux pas utiliser arcsin(1/4) puisque ça ne donnera pas de résultat exact. Ou alors tu dis que cos x = cos( arcsin(1/4) ) mais ce n'est pas très intéressant et en plus ce sera faux. Et puis la fonction arcsin est hors-programme. Bref, mauvaise méthode !

J'aurais juré qu'il fallait utiliser cos²x+sin²x = 1. Tu es sûr que c'est interdit ? La consigne n'est pas plutôt quelque chose comme « pas le droit d'utiliser uniquement cos²x+sin²x = 1 » (par exemple en déduisant que cos x est égal à (V5)/4, ce qui serait faux ici) ? Vu que c'est un exercice qui se fait facilement avec un dessin, j'aurais donné une consigne assez proche : « attention, ne vous contentez pas d'utiliser bêtement cos²x+sin²x = 1, il y a un piège... » Ce n'est pas plutôt ça qu'on t'a dit ?

(Sans compter qu'interdire d'utiliser une égalité 1) qui est juste, 2) qui est extrêmement importante et 3) qui est au programme, ce serait quand même vraiment tordu.)

[yaboo]

La consigne ne dit pas que c'est interdit, en fait, c'est mon prof qui ne veut pas que nous l'utilisions.
Sinon, oui, j'aurais fait 1 - sin²x = cos²x ^^

Voici un exemple d'exercice corrigé de la sorte :
x un réel appartenant à et

- J'utilise arcsin (-0,1)
- Je soustraie arcsin (-0,1) de 2Pi OU j'ajoute arcsin (-0,1) à Pi
- Je fais le cos des résultats précédents, résultats 0,995 et -0,995

[paquito]

[quote="yaboo"]Merci ! Je pense avoir compris la technique grâce à vous !



Ce "mais..." n'envisage rien de bon...

Sinon, comme le sujet se nomme "exercice de trigonométrie" je vais en profiter pour vous en demander encore un peu...
Dans le cas suivant, il faut déterminer cos x. (je n'ai pas le droit d'utiliser la formule cos²x + sin²x =1)

x un réel appartenant à et

- J'utilise en premier lieu arcsin (1/4).
- Puis je retire arcsin (1/4) à Pi OU j'ajoute arcsin (1/4) à Pi/2
- Je fais le cos des deux résultats trouvés

Est-ce que c'est bon ?

Cela me semble facile. De plus, je connaissais déjà le nombre de résultats possible grace à l'intervalle. Comment devrais-je m'y prendre si l'intervalle était plus grand ? (par exemple [-5Pi; 12Pi] ?)[/QU


Par exemple, situ as x=pi/3 + 2kpi/6 et que l'intervalle est [6pi;7pi], tu poses:

6pi<pi/3+2kpi/6<7pi; tu multiplie par 6 pour que ça soit plus clair, d'où 36pi<2pi+2kpi<42pi ; tu simplifie par pi d'où 36<2+2k<42 ce qui donne 34<2k<40 et 17<k<20; normalement les inégalités sont larges et on obtient 4 solutions: k=17, 18, 18 et 20. Cette méhtode est toujours valable

[Robic]

yaboo : vu l'exercice corrigé, tu as raison, il faut donc utiliser des valeurs approchées d'arccos ou d'arcsin grâce à la calculatrice.

En tout cas je te conseille de faire un dessin.

[paquito]

Tu sais que cos(x) est négatif sur [pi/2; pi] (faire éventuellement un dessin), donc la valeur exacte de cos(x) est -cos(arcsin(1/4), ce qui te fait une belle jambe, puisque ça donne cos(x)=-9682458..., alors que l'on trouve très rapidement ((x)=-V15/4.