Analyse

[OrsayMPI]

Bonsoir.

Je bute sur un exo d'analyse qui est le suivant :

Soit f une fonction continue sur [0,1], telle que, pour tout x ]0,1], on a |f(x)| < x.

1. Montrer que f(o) = 0.

2. Soit 0 < a < 1. Montrer qu'il existe un réel tel que, pour tout x de [a,1], on a |f(x)| .

3. Est - il toujours possible de trouver un réel tel que pour tout x de [0,1], on ait |f(x)| ?

J'ai réussis à faire la première question mais je sèche à la deuxième, je ne sais pas du tout par où commencer, je n'arrive pas à voir la chose même intuitivement.

Help please.

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,

Pour la 2), une idée pas con est de considérer la fonction x->g(x)=f(x)/x qui est continue sur [a,1]

Pour la 3), la réponse est "non" et je pense que le plus simple c'est de chercher plutôt g(x)=f(x)/x pour x dans ]0,1]

[OrsayMPI]

Hmm si j'ai bien compris :

2. Soit g(x) = |f(x)|/x. g est continue sur [a,b] donc d'après le théorème de Weierstrass elle est bornée et atteint ses bornes.

D'où : = f() avec [a,1].

Or |f(x)| < x x ]0,1] = f() < < 1

3. La fonction sin(x) est 1-lipschitzienne et de plus = 1 donc elle conviendrait comme contre exemple ? Et comment as - tu fais pour savoir que la réponse était " non " ?

[Ben314]

Hmm si j'ai bien compris :

2. Soit g(x) = |f(x)|/x. g est continue sur [a,b] donc d'après le théorème de Weierstrass elle est bornée et atteint ses bornes.

D'où : = f()/xo avec [a,1].

Or |f(x)| < x x ]0,1] = f())/xo < )/xo = 1

3. La fonction sin(x) est 1-lipschitzienne et de plus = 1 donc elle conviendrait comme contre exemple ? Et comment as - tu fais pour savoir que la réponse était " non " ?

J'ai fait que la fameuse fonction g(x)=f(x)/x, c'est pas parce qu'elle est <1 sur ]0,1] que ça implique qu'elle est <1 sur [0,1]. Par exemple g(x)=1-x, ça marche pas donc f(x)=x(1-x), ben ça marche pas (f(x)=sin(x), ça marche pas non plus...)

[OrsayMPI]

Ok, merci beaucoup !

[alm]

Salut
Pour le 3) il suffit de prendre pour tout
Si on suppose qu'il existe une constante tel que pour tout , on aurait en particulier : . En particulier pour ça donne , chose impossible.
Cela provient, par exemple, du fait que