Exercice Complexes

[Drakula]

Bonsoir tout le monde, j'ai besoin d'un petit coup de main pour les deux dernières questions de cet exercice.

Enoncé:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O; ; )
A tout point M d'affixe z différent de -i, on associe le point M' d'affixe Z:
Z=

On note A et B les points d'affixe -i et 1.

1. Déterminer l'ensemble des points M tels que |Z| = 1

2. Montrer que |Z-1| =
On suppose que M décrit le cercle de centre de A passant par B. Montrer que M' décrit un autre cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Montrer que, pour M différent de A et B, arg(Z) = () (2
Déterminer l'ensemble de points M tels que Z soit imaginaire pur.

Ce que j'ai fait:

2) Comme |Z-1| = alors BM' = = =

M' est sur le cercle de centre B et de rayon .

3) je vois pas comment continuer je sais que () = ...

Merci de vos réponses.

[annick]

Bonsoir,
tu ne parles pas de la question 1. L'as-tu faite ?

Sinon, je pense que tu devrais revoir ta figure car il doit y avoir une erreur.

En effet, AM=AB=V2 et non 1 comme tu l'as écrit.

De plus (MA,MB) n'est pas égal à pi/2 car [AB] n'est pas un diamètre.

[Drakula]

Bonsoir,
tu ne parles pas de la question 1. L'as-tu faite ?

Sinon, je pense que tu devrais revoir ta figure car il doit y avoir une erreur.

En effet, AM=AB=V2 et non 1 comme tu l'as écrit.

De plus (MA,MB) n'est pas égal à pi/2 car [AB] n'est pas un diamètre.

À la 1) Je trouve BM = AM
Donc l'ensemble des points M tels que |Z| = 1 c' est la médiatrice BA.

Et pourquoi AB = V2 ?

[Tiruxa]

Et pourquoi AB = V2 ?

AB= |zB - zA| =|1+i| =

[Drakula]

Ah d'accord, en revanche je suis pas d'accord avec toi sur un point pout démontrer que Z soit imaginaire pur il faut que son argument soit égal à pi/2 ou -pi/2 donc l'arg(Z) doit être à pi/2. Je crois qu'il faut dire que le triangle ABM est rectangle et que l'ensemble des points M est le diamètre AB.

[annick]

Non, il faut bien dire que l'angle (MA,MB) est égal à pi/2 ou -pi/2.

En effet, les imaginaires sont représentés par l'axe des y ce qui correspond à un argument de -pi/2 ou pi/2;

Cela veut dire que le triangle AMB est rectangle en M et que M se déplace sur le cercle de diamètre [AB] et de rayon V2/2.

On peut retrouver cette démonstration en passant par Z=X+iY , z=x+iy et en posant X=0 si on veut que Z soit un imaginaire pur.

Dans ce cas, on aboutit à x²-x+y²-y=0

Ce qui revient à écrire :

(x-1/2)²-1/4+(y+1/2)²-1/4=0

(x-1/2)²+(y+1/2)²=1/2

C'estl 'équation du cercle de centre (1/2,-1/2) et de rayon V2/2. Le centre est bien le milieu de [AB]

[Drakula]

Ah d'accord merci.

[Tiruxa]

Quelques remarques :

Comme on demande de trouver l'ensemble des points M, il faut dire que c'est le cercle de diamètre [AB] privé du point A.
En effet lorsque z = -i , Z n'est pas défini.

Autre chose en ce qui concerne la première méthode avec l'argument.

z imaginaire pur si et seulement si (arg z = pi/2 [2pi] ou z = -pi/2[2pi] ou z = 0)

Si on oublie le cas z = 0 cela revient supprimer B de l'ensemble de points.
Je rappelle que 0 est considéré comme imaginaire pur puisqu'un imaginaire pur s'écrit sous la forme iy avec y dans |R.

[annick]

Tu as raison Tiruxa d'apporter ces précisions, d'autant que je m'étais bien dit que je devais parler des restrictions, mais que j'ai envoyé ma réponse trop vite.