Deux masses contre un mur

[Anonyme]

Bonjour à tous :salut:

Voici encore un problème sur le mouvement, extrait de la liste d'exercices supplémentaires que j'ai reçu. Exercices non corrigés, d'où l'intérêt de les poster ici. Pour celui-ci, j'attends déjà une piste pour démarrer, car j'ai un problème de compréhension de l'énoncé je pense.. Bref, voici l'exercice en question :

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Deux masses se déplacent à une vitesse commune Vo sur un sol lisse en direction d'un mur. Le coefficient de frottements entre les deux masses est . Le choc entre la masse du bas et le mur est un choc élastique.

1. Décrire le comportement des deux masses. Combien il y aura de chocs ? Donnez les réponses selon les cas suivants : 1. , 2. , 3. .

2. Calculez la vitesse commune après la collision avec le mur (pour chaque cas).

3. A venir...

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Je ne donne pas la 3ème question car j'aimerais la chercher tout seul, après avoir eu une piste pour démarrer. Je pourrai la noter quand même après pour ceux que ça intéresse :lol3:.

Bon alors là le truc, c'est que je n'arrive pas à démarrer. On parle de vitesse commune aux deux masses; Vo, mais qu'est ce que ça signifie ? Je croyais que la vitesse commune c'était justement après la collision..
La seule chose claire pour moi, c'est que la quantité de mouvement sera conservée car il n'y a pas actions de forces extérieures. Mais plutôt intérieure, le frottement.

Une piste pour démarrer serait la bienvenue. Je vous remercie par avance ! :happy2:


Illustration du problème :

[Mathusalem]

Y a pas de suppositions supplémentaires ?

La vitesse commune c'est simplement la vitesse à laquelle les deux masses se déplacent. Avant le choc ils se déplacent ensemble, après aussi, apparemment.

Je pense que le problème c'est : Après le choc avec le bloc du bas, tu supposes que le bloc d'en-haut se décolle, et possède la vitesse de départ. Donc relativement au bloc de dessous, il a une vitesse V_{depart} + V_{bloc-en-bas}. Ici c'est bien un +, car le bloc va dans le sens opposé. Je pense qu'ensuite tu calcules la distance de freinage du bloc de dessus ?

J'ai pas trop d'idées là vu les suppositions à faire. Je te rappelle que la conservation de la quantité de mouvement ici est délicate. La force du mur serait une force interne si tu considérais le mur comme faisant partie du système.

Ici, le mur est un élément extérieur (ou alor tu lui donnes une masse infinie et tu l'incorpores au système mais ça n'a pas grand intérêt). Donc, la force de collision qui repousse le bloc dans l'autre sens est une force extérieure. En revanche, la collision est élastique, donc l'énergie cinétique est conservée.

[Anonyme]

Y a pas de suppositions supplémentaires ?

La vitesse commune c'est simplement la vitesse à laquelle les deux masses se déplacent. Avant le choc ils se déplacent ensemble, après aussi, apparemment.

Je pense que le problème c'est : Après le choc avec le bloc du bas, tu supposes que le bloc d'en-haut se décolle, et possède la vitesse de départ. Donc relativement au bloc de dessous, il a une vitesse V_{depart} + V_{bloc-en-bas}. Ici c'est bien un +, car le bloc va dans le sens opposé. Je pense qu'ensuite tu calcules la distance de freinage du bloc de dessus ?

J'ai pas trop d'idées là vu les suppositions à faire. Je te rappelle que la conservation de la quantité de mouvement ici est délicate. La force du mur serait une force interne si tu considérais le mur comme faisant partie du système.

Ici, le mur est un élément extérieur (ou alor tu lui donnes une masse infinie et tu l'incorpores au système mais ça n'a pas grand intérêt). Donc, la force de collision qui repousse le bloc dans l'autre sens est une force extérieure. En revanche, la collision est élastique, donc l'énergie cinétique est conservée.

Bonjour,

Hum ok, je vais essayer d'y re réfléchir au vue de ton message, pour les infos supplémentaires, non pour l'instant je n'ai que ça. Je te tiens au courant si j'ai d'autres choses à ajouter.

Merci bien

[Benjamin]

Salut,

Voici ma façon de voir les choses.

Juste après l'impact, la masse du dessus se déplace à V0 (vers la gauche) et la masse du dessous à -V0 (vers la droite).

A ce moment là, il n'y a plus d'effort extérieur sur le système {m1 + m2} et Vg = (m1*v1 + m2*v2)/(m1+m2) soit Vg = V0*(m1-m2)/(m1+m2).
Les frottements sont juste là pour montrer que les 2 masses vont retrouver une vitesse commune, qui sera Vg.

Si m1 > m2, Vg est positif : l'ensemble va repartir vers la gauche (les frottements inverseront la vitesse de m2), nouvelle colision etc... et il y aura une infinité de collision
Si m1 = m2, Vg = 0 : les 2 masses vont s'arrêter d'elle-même après le premier impact
Si m1 < m2, Vg est négatif : les 2 masses repartirons à droite (les frottements inverseront la vitesse de m1) et 1 seule collision

[Mathusalem]

Et qu'en est-il du cas où la distance de freinage de la masse du dessus est plus longue que la distance qui le sépare du mur ? :p Ça fait des collisions en plus.

Plus sérieusement c'est intéressant, ça montre que la pertie d'énergie cinétique ne dépend pas du coefficient de frottement, mais seulement de la vitesse initiale et des masses. Comme ça, à vue de nez, j'aurais pas dit.

Pourquoi tu n'as pas de corrigé de ces exos ? ils sont assez intéressants.

[Benjamin]

J'ai effectivement pris l'hypothèse que la masse du bas est suffisamment longue pour que celle du haut reste constamment dessus (ça suffit pour être sûr que la masse du haut ne sera jamais en collision avec le mur).

mu va en effet agir sur la puissance mais pas sur l'énergie. Plus mu est grand, plus la puissance de la force de frottement sera importante et plus l'état final sera atteint rapidement. Si je note P la puissance de cette force et T le temps entre la collision et le moment où v1 = v2 = vg, alors P*T = cte.

Ce n'est pas intuitif au premier abord, j'avoue ;)

Après, je me suis peut-être trompé aussi ^^

[Black Jack]

En passant par les frottements :

Juste après le choc, la masse m2 va vers la droite avec une vitesse Vo et la masse m1 va vers la gauche avec une vitesse Vo. (référentiel terrestre).

A partir de cet instant, il y a une force de frottement f = µ.m1.g entre les 2 masses.

On a alors |V_m2|(t) = Vo - µg.m1/m2 * t et |V_m1|(t) = Vo - µg * t

Soit t1, la durée de ce mouvement relatif , on a : Vo - µg.m1/m2 * t1 + Vo - µg * t1 = 0

t1 = 2.Vo/(µ.g) * m2/(m1+m2) (à supposer que la masse m1 ne tombe pas bas de la masse m2 évidemment).

A partir de cet instant t1, il n'y a plus de mouvement relatif entre les 2 masses et on peut calculer leur vitesse commune V = V_m2(t1) ... sens positif vers la droite (référentiel terrestre).

v = Vo - µg * (m1/m2).t1
v = Vo - µg * (m1/m2)*2.Vo/(µ.g) * m2/(m1+m2)
v = Vo - 2Vo * m1/(m1+m2)
v = Vo.(m2-m1)/(m1+m2) ... sens positif vers la droite

Et donc Si m1 = m2, la fitesse finale = 0
Si m1 > m2, la vitesse finale est vers la gauche et |v| = Vo.(m1-m2)/(m1+m2)
Si m1 < m2, la vitesse finale est vers la droite et |v| = Vo.(m2-m1)/(m1+m2)

Mêmes conclusions que par la méthode de Benjamin.


:zen:

[Benjamin]

Merci pour le complément Black Jack.
Je vois que je suis à moitié faux à 14H27. On peut pas prendre comme ça P*T, car P dépend du temps (c'était évident, mais en le voyant écrit, ça l'est encore plus ;)). C'est l'intégrale de P(t) entre 0 et T qui est constante.

[Anonyme]

Et qu'en est-il du cas où la distance de freinage de la masse du dessus est plus longue que la distance qui le sépare du mur ? :p Ça fait des collisions en plus.

Plus sérieusement c'est intéressant, ça montre que la pertie d'énergie cinétique ne dépend pas du coefficient de frottement, mais seulement de la vitesse initiale et des masses. Comme ça, à vue de nez, j'aurais pas dit.

Pourquoi tu n'as pas de corrigé de ces exos ? ils sont assez intéressants.

Re ,

Tout d'abord je vous remercie pour vos réponses, je suis en train d'essayer de refaire tout ça pour voir si j'ai bien compris, car j'ai vraiment eu du mal à démarrer sur celui là.

Et juste pour répondre à Mathusalem, oui ces exos sont très intéressants, pourquoi je n'ai pas de correction détaillée, je ne sais pas.. Le but est de les chercher seul, et ensuite de comparer avec d'autres personnes (amis, ou aillers, en l'occurence je le fais aussi ici), en général on a une correction rapide mais qui vient plus tard. Cette correction confirme simplement les réponses la plupart du temps. Et la plupart du temps aussi, je confronte ces exercices sur ce forum avec vous.
En gros, si je ne reposte pas pour dire que c'est faux, vous pouvez considérerez que ce que vous avez écris sur le forum est la bonne solution. Jusqu'à présent en tout cas, ça a été comme ça .
Donc encore une fois, merci pour le coup de main supplémentaire.

Sur ce, je vais tenter de revoir cet exo et je vous tiens au courant.
A bientôt

[Anonyme]

Soit t1, la durée de ce mouvement relatif , on a : Vo - µg.m1/m2 * t1 + Vo - µg * t1 = 0

@Black Jack,

Je saisis ton raisonnement, auquel je l'avoue je n'aurai pas forcément pensé comme ça au premier abord. Seulement je ne comprends pas cette ligne (que j'ai mis en quote).

Pourquoi écrire V_m1(t1) + V_m2(t1) = 0 ? Je ne saisis pas bien la signification de cette addition de deux vitesses = 0. Ca sous entend l'une égale moins l'autre, du coup ça s'arrête et ça recommence à avancer à vitesse commune Vg qu'on trouve juste après ?

Merci d'avance. :lol3:

[Mathusalem]

@Black Jack,

Je saisis ton raisonnement, auquel je l'avoue je n'aurai pas forcément pensé comme ça au premier abord. Seulement je ne comprends pas cette ligne (que j'ai mis en quote).

Pourquoi écrire V_m1(t1) + V_m2(t1) = 0 ? Je ne saisis pas bien la signification de cette addition de deux vitesses = 0. Ca sous entend l'une égale moins l'autre, du coup ça s'arrête et ça recommence à avancer à vitesse commune Vg qu'on trouve juste après ?

Merci d'avance. :lol3:

Es-tu sûr que c'est une addition de vitesses?

[Black Jack]

Es-tu sûr que c'est une addition de vitesses?

Cela dépend si on parle en vecteurs ou en modules ...
Voila en un peu plus détaillé :

t1 est l'instant à partir duquel il n'y a plus de mouvement relatif entre les 2 masses
... et donc à partir de l'instant t1, les vecteurs vitesses des 2 masses sont les mêmes. (dans un référentiel terrestre)

On a en t = t1 : vecteur(vitesse(m1)) = vecteur(vitesse(m2))
***
J'avais noté : |V_m2|(t) = Vo - µg.m1/m2 * t et |V_m1|(t) = Vo - µg * t (valable depuis t = 0 (choc) jusque t = t1)

Ca, cest les modules des vitesses, mais si on tient compte de leur sens (sens positif choisi vers la droite) , on a en vecteur :

vecteur(V_m2(t)) = Vo - µg.m1/m2 * t
et
vecteur(V_m1(t)) = -(Vo - µg * t)

Et donc comme en t = t1, on a vecteur(vitesse(m1)) = vecteur(vitesse(m2)) --->

Vo - µg.m1/m2 * t1 = -(Vo - µg * t1)

Et cela permet de calculer t1 = 2.Vo/(µ.g) * m2/(m1+m2)
***

Comme on sait que pour t >= t1 les masses sont immobiles l'une par rapport à l'autre ... on peut calculer la vitesse commune des 2 masses dans le référentiel terrestre pour t >= t1.

Cette vitesse est V = V_m2(t1) (ou si on veut V = V_m1(t1), on trouvera la même chose)

V = V_m2(t1) = ... = Vo.(m2-m1)/(m1+m2) ... sens positif vers la droite

C'est la vitesse finale stabilisée des 2 masses.

:zen:

[Black Jack]

Je n'ai pas répondu à la question "Combien il y aura de chocs ?"

Si m1 <= m2, la vitesse finale est nulle ou vers la droite ... et il n'y aura qu'un seul choc...

Si m1 > m2, la vitesse stabilisée des 2 masses est vers la gauche.
On se retrouve donc dans une situation analogue au départ, avec une vitesse plus faible que Vo ...
On est donc reparti pour un nouveau choc contre le mur.
Et comme on a toujours m1 > m2 ... on est théoriquement parti pour une infinité de chocs à vitesse réduite à chaque fois.

On pourrait essayer de trouver (dans le cas de m1>m2) l'expression du terme général de la suite donnant les vitesses "stabilisées" en fonction du nombre de chocs. (Ca c'est immédiat).
Et aussi l'expression du terme général de la suite donnant la distance de glissement des masses l'une par rapport à l'autre en fonction du nombre de chocs.

:zen:

[Mathusalem]

C'était une question pour vie89 qu'il réfléchisse, et pas par rapport à ta solution :)

Clairement la condition est une soustraction des vitesses puisqu'à ce moment (t_1) elles sont égales. Si on fait attention à l'expression des vitesses, on comprend que c'est une soustraction et non une addition.

[Anonyme]

Re,

Ok, je me doutais un peu qu'il fallait voir ça vectoriellement et non comme une addition de deux vitesses.. C'est confirmé maintenant.

Il me reste encore une dernière question sur ce problème, je vais la chercher, je la posterai plus tard si je cafouille.

Merci pour l'aide en tout cas :).

P.S : j'ai un autre exo sur le mouvement assez intéressant, mais pareil, il ne manque qu'une question je pense, donc je le posterai seulement si je ne trouve pas ou pour confimer mes résultats avec vous.

A plus tard :)

[Anonyme]

Ah et petite bizarrerie, on doit d'abord répondre à la deuxième question avant de pouvoir répondre à la première :mur:.
Ou alors on considère qu'on ne fait que supposer dans la première question, et qu'on a beaucoup de chance de supposé comme par hasard ce qui va se passer à la question 2 :lol3:.

[Anonyme]

Bon pour la dernière question, je vous la donne car elle semble assez triviale maintenant, il s'agit de donner la distance qu'a parcouru la masse du haut sur la masse du bas (en supposant la masse du bas très longue bien sûr), jusqu'à ce que les deux masses arrivent à vitesse commune. On est donc après le choc.

J'ai simplement intégrer l'expression de V1 et j'ai exprimer x1(t1), j'arrive à :

x1(t1) =

Sauf erreur..

Ils demandent de calculer pour chacun des cas, seulement si je ne dis pas de bêtises, cette distance ne varie pas en fonction des cas.. Du coup c'est la seule et unique réponse.

Je pense qu'on peut dire que le problème est résolu et compris.

Merci à vous

[Black Jack]

Bon pour la dernière question, je vous la donne car elle semble assez triviale maintenant, il s'agit de donner la distance qu'a parcouru la masse du haut sur la masse du bas (en supposant la masse du bas très longue bien sûr), jusqu'à ce que les deux masses arrivent à vitesse commune. On est donc après le choc.

J'ai simplement intégrer l'expression de V1 et j'ai exprimer x1(t1), j'arrive à :

x1(t1) =

Sauf erreur..

Ils demandent de calculer pour chacun des cas, seulement si je ne dis pas de bêtises, cette distance ne varie pas en fonction des cas.. Du coup c'est la seule et unique réponse.

Je pense qu'on peut dire que le problème est résolu et compris.

Merci à vous

Je ne trouve pas la même chose.


pour t m2, la vitesse "stabiliséee" des 2 masses après le 1er choc est vers la gauche et donc il va y avoir (voir mon message précédent) une infinité de chocs ... avec chaque fois un décalage supplémentaire des masses l'une par rapport à l'autre.

Et donc, en conséquence de tous les chocs successifs, on aura un décalage qui tendra vers une valeur à déterminer.

Soit en considérant la suite de terme général : (Delta x)(n) = 2.Vn²/(µ.g) * m2/(m1+m2) avec V(n+1) = V(n) * (m1-m2)/(m1+m2) et V(0) = Vo
Et en sommant depuis n = 0 jusque n --> oo les termes de la suite Deltax(n)

On peut aussi trouver le dacalage en raisonnant par l'énergie.

Si m1 > m2, la vitesse stabilisée lorsque le nombre de chocs --> +oo tend vers 0
... Et donc toute l'énergie cinétique des masses au départ aura été transformée en énergie de frottement avec F = µ.m1.g la force de frottement.

On aura alors : (1/2).(m1+m2).Vo² = µ.m1.g * d (avec d la distance totale de décalage des masses)

--> d = (1/2).(m1+m2).Vo²/(µ.m1.g)

Groupement des résutats :
Avec d le décalage final (total) entre les 2 masses :

Si m1 m2 : d = (1/2).(m1+m2).Vo²/(µ.m1.g)

Calculs à vérifier, bien entendu.

:zen:

[Anonyme]

Je ne trouve pas la même chose.


pour t m2, la vitesse "stabiliséee" des 2 masses après le 1er choc est vers la gauche et donc il va y avoir (voir mon message précédent) une infinité de chocs ... avec chaque fois un décalage supplémentaire des masses l'une par rapport à l'autre.

Et donc, en conséquence de tous les chocs successifs, on aura un décalage qui tendra vers une valeur à déterminer.

Soit en considérant la suite de terme général : (Delta x)(n) = 2.Vn²/(µ.g) * m2/(m1+m2) avec V(n+1) = V(n) * (m1-m2)/(m1+m2) et V(0) = Vo
Et en sommant depuis n = 0 jusque n --> oo les termes de la suite Deltax(n)

On peut aussi trouver le dacalage en raisonnant par l'énergie.

Si m1 > m2, la vitesse stabilisée lorsque le nombre de chocs --> +oo tend vers 0
... Et donc toute l'énergie cinétique des masses au départ aura été transformée en énergie de frottement avec F = µ.m1.g la force de frottement.

On aura alors : (1/2).(m1+m2).Vo² = µ.m1.g * d (avec d la distance totale de décalage des masses)

--> d = (1/2).(m1+m2).Vo²/(µ.m1.g)

Groupement des résutats :
Avec d le décalage final (total) entre les 2 masses :

Si m1 m2 : d = (1/2).(m1+m2).Vo²/(µ.m1.g)

Calculs à vérifier, bien entendu.

:zen:

Bonsoir,

En effet, je n'ai pas tenu compte du décalage, c'est en réalité ça la distance "réelle" parcourue par le corps du dessus.
Cet exercice n'est vraiment pas commode.. :mur:.

Une chose que je n'ai pas trop comprise dans ton raisonnement, c'est l'histoire de l'énergie de frottement, c'est bien le travail de la force de frottement que tu as exprimé là ? Tu dis que ce travail, cette énergie donc, vaudra toute l'énergie cinétique de départ d'avant l'infinité de chocs, c'est bien ça ?

J'avoue que je n'y aurai pas pensé à ça..

Merci bien pour l'explication en tout cas. J'y vois beaucoup plus clair avec le recul. :happy2: