Calcul d'un moment d'inertie

[Skrilax]

Bonsoir,

Je rencontre quelques difficultés sur un exo de physique.
Je suis (j'étais..) en TS, je viens tout juste d'aborder de moi-même un cours sur les moments d'inertie.

Il faut calculer I pour le cylindre suivant autour de l'axe Oz :



J'espère que je vais parvenir à vous expliquer clairement ma démarche.

J'ai cette forumule à ma disposition : où m représente la masse du cylindre. D'après l'énoncé, ce dernier est homogène j'ai donc fait :



Ensuite, c'est un peu long à retranscrire ici alors je vous passe le détail, mais je montre, sauf erreur, que

Désolé, j'espère que j'arrive à me faire comprendre pour le coup de l'angle :hum: en quelque sorte, j'ai assimilé le cylindre à un gateau que l'on découpe en un infinité de parts, chacune étant d'un angle theta et donc de volume . Oui ? :hum:

Et donc je continue :



D'où

Comme et on obtient :



Voilà, sauf que d'après plusieurs sources, le moment d'inertie de ce genre de cylindre est

Alors ce que je voulais savoir, c'est tout d'abord si ce que j'ai fait n'est pas complètement faux, car je ne suis encore pas très à l'aise avec ce genre de calcul, et si ce n'est pas le cas, où est passé le facteur 1/2 ?

et enfin, si quelqu'un a une autre méthode plus simple ou plus élégante je suis preneur

Merci beaucoup à ceux qui prendront le temps de tout regarder.

[Maks]

Bonjour !

D'après l'énoncé, ce dernier est homogène j'ai donc fait :

Bizarre ...

De plus, ton dV est totalement faux. Un dV est un infiniment petit d'ordre 3, et tu l'as écrit comme un infiniment petit d'ordre 1. Cependant, ces notions sont difficiles à saisir au niveau terminale.

Voila comment rédiger la chose :



Le cylindre est homogène, on introduit alors la masse volumique .

Or en coordonnées cylindriques :

On en déduit que :



N'hésite pas à demander plus d'explications.

[valentin.b]

Bonjour,
Je suis pas trop sur le coup en intégrale triple mais j'ai :


De la même manière que toi j'ai (je différencie r qui varie et R constant, de même pour z et h) [Je le refais, j'ai pas fait varier r², désolé ...] :

[Maks]

De la même manière que toi j'ai (je différencie r qui varie et R constant, de même pour z et h) :

Formule totalement fausse ! :marteau:

Désolé ...

Le rayon intervenant dans l'intégrale dépend de l'emplacement du dV ! Ce n'est donc pas , mais qui doit apparaître !

Au passage, ton résultat est d'une évidence rare ...



Au moins, ce n'est pas faux ! :ptdr:

[Black Jack]

L'élement de volume de hauteur h, de rayon x et d'épaisseur élémentaire de paroi dx est : dv = Pi .h .x dx

Sa masse est la masse élementaire : dm = Rho. Pi .h .x dx

On a donc le moment d'inertie de tout le cylindre:





Continue ...

Et en tenant compte finalement que la masse du cylindre est m = Pi.R².h.Rho

Tu dois arriver à J = (1/2).m.R²

:zen:

[valentin.b]

Formule totalement fausse ! :marteau:

Désolé ...

Le rayon intervenant dans l'intégrale dépend de l'emplacement du dV ! Ce n'est donc pas , mais qui doit apparaître !

Au passage, ton résultat est d'une évidence rare ...



Au moins, ce n'est pas faux ! :ptdr:

... C'est déjà ça, mais je connais pas la formule de toute façon :hein:

[Maks]

Pour aider, il faudrait mieux ... non ? :hum:

[valentin.b]

Au passage, ton résultat est d'une évidence rare ...



Au moins, ce n'est pas faux ! :ptdr:

C'est vrai que c'est con ...

[Maks]

Ca arrive à tout le monde.

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

Je rencontre quelques difficultés sur un exo de physique.
Je suis (j'étais..) en TS, je viens tout juste d'aborder de moi-même un cours sur les moments d'inertie.

Il faut calculer I pour le cylindre suivant autour de l'axe Oz :



J'espère que je vais parvenir à vous expliquer clairement ma démarche.

J'ai cette forumule à ma disposition : où m représente la masse du cylindre. D'après l'énoncé, ce dernier est homogène j'ai donc fait :

Bonjour,
r est la variable d'intégration ! Réfléchi à ce que représente dV... Il ne faut pas la sortir de l'intégrale....

Ensuite, c'est un peu long à retranscrire ici alors je vous passe le détail, mais je montre, sauf erreur, que

Désolé, j'espère que j'arrive à me faire comprendre pour le coup de l'angle :hum: en quelque sorte, j'ai assimilé le cylindre à un gateau que l'on découpe en un infinité de parts, chacune étant d'un angle theta et donc de volume . Oui ? :hum:

Et donc je continue :



D'où

Comme et on obtient :



Voilà, sauf que d'après plusieurs sources, le moment d'inertie de ce genre de cylindre est

Je confirme (si besoin!), c'est bien la valeur du moment d'inertie d'un cylindre homogène!
Ta méthode d'intégration est tirée par les cheveux...
Tu peux effectivement écrire que dV = r*dr*dtheta*dz, ce que tu ne fais pas d'ailleurs car dans ton écriture on ne distingue pas les variables d'intégration. Dans ce cas, tu aboutis à un calcul d'intégrale assez simple, en intégrant respectivement entre 0 et R, 0 et 2*pi et 0 et h. Apparement tu passes sur deux intégrales avec une allègresse qui ferait bondir un prof de maths (et aussi de physique!).
A ta place, je chercherais l'erreur dans ton expression et ton intégration de dV

[Maks]

L'élement de volume de hauteur h, de rayon x et d'épaisseur élémentaire de paroi dx est : dv = Pi .h .x dx

Pas compris ...

[Dominique Lefebvre]

Il y a une autre méthode, peut être plus simple.

Considère un anneau circulaire sur ton cylindre de rayon r, de largeur dr et de hauteur dz.
Son volume dV est égale à dV = 2*pi*r*dr*dz et sa masse est égale à dm = rho*dV (où rho est la densité volumique de la matière, avec rho = M/V).
D'après la définition du moment d'inertie, je peux écrire dI = r²*dm = 2*pi*rho*r^3*dr*dz
J'intègre I entre 0 et R et 0 et H et j'obtiens I = (1/2)*pi*rho*R^4*H.
le rho me gêne, je ne le connais pas, mais je connais la masse M et le volume V du cylindre. Il vient rho = M/pi*R²*H. Si tu remplaces dans l'expression de I, tu tombes sur I = (1/2)MR²

[Skrilax]

Merci pour les réponses !

J'ai bien compris mon erreur. En fait, mon idée de découper le cylindre en une infinité de "parts de gâteau" m'a induit en erreur et j'ai sorti r de l'intégrale. De plus comme j'obtenais un résultat assez proche de la solution, je m'étais dit que le fond devait être correct.

Voila comment rédiger la chose :



Le cylindre est homogène, on introduit alors la masse volumique .

Or en coordonnées cylindriques :

On en déduit que :

ok parfait j'ai bien compris thx.

Il y a une autre méthode, peut être plus simple.

Considère un anneau circulaire sur ton cylindre de rayon r, de largeur dr et de hauteur dz.
Son volume dV est égale à dV = 2*pi*r*dr*dz et sa masse est égale à dm = rho*dV (où rho est la densité volumique de la matière, avec rho = M/V).
D'après la définition du moment d'inertie, je peux écrire dI = r²*dm = 2*pi*rho*r^3*dr*dz
J'intègre I entre 0 et R et 0 et H et j'obtiens I = (1/2)*pi*rho*R^4*H.
le rho me gêne, je ne le connais pas, mais je connais la masse M et le volume V du cylindre. Il vient rho = M/pi*R²*H. Si tu remplaces dans l'expression de I, tu tombes sur I = (1/2)MR²

Oui d'accord j'ai compris. C'est bien plus simple et rapide. Mais je n'aurais pas pensé au coup de l'anneau.

En tout cas, je vais tenter de recommencer avec d'autres figures géométriques simples pour voir si j'ai bien compris. je viendrai mettre ce que j'ai trouvé ici. :we:

[Black Jack]

A la place de considérer "un anneau circulaire sur ton cylindre de rayon r, de largeur dr et de hauteur dz", on peut considérer "un anneau circulaire sur ton cylindre de rayon r, de largeur dr et de hauteur h", c'est ce que j'ai fait dans la solution que j'ai proposé (aux notations près, x à la place de r).

:zen:

[Maks]

En tout cas, je vais tenter de recommencer avec d'autres figures géométriques simples pour voir si j'ai bien compris. je viendrai mettre ce que j'ai trouvé ici. :we:

Tiens, un truc marrant à faire, quand on débute ce genre de calcul : retrouver le volume d'une boule. Au fait, les méthodes que nous t'avons montré s'appellent des méthodes par découpage. En effet, on découpe la totalité du volume sur lequel intégrer en petits volumes élementaires. Souvent, plusieurs découpages sont possibles : par exemple, pour calculer le volume d'une cube, on peut découper en pavés très fins (d'épaisseur dz), puis on somme tous les pavés sur la hauteur du cube. On pourrait aussi prendre un petit cube, puis le sommer dans une direction, pour obtenir une petite bande, puis la sommer dans une autre direction pour obtenir un petit pavé, et retomber alors sur le cas précédent. En fait, en général, un bon dessin permet souvent de trouver les éléments d'intégration. Les petites longueur sont des , , , les petits angles, des , les petits volumes des ... C'est assez génial en fait comme truc, une fois qu'on a compris ! Après, tu verras que par exemple, les expressions d'un dV en coordonnées cartésiennes, cylindriques, ou sphériques, sont connues. Tu pourras donc directement les remplacer lorsqu'ils apparaitront dans un calculs. Par exemple en cylindrique (les variables d'espace sont , et ), un petit dessin sur lequel tu as representé un volume elementaire (toujours en coordonnées cylindriques !!) te donne : (cf schéma).



Bon allez, j'espère ne pas t'avoir assommé de trucs trop compliqués. :marteau: En tout cas, tu peux poser des questions, n'hésite pas ! :ptdr:

[Skrilax]

Tiens, un truc marrant à faire, quand on débute ce genre de calcul : retrouver le volume d'une boule.

Oui ! je l'ai eu en DS cette année je me souviens qu'à un moment j'avais utilisé pythagore :we:

Sinon merci pour les conseils :++:

[Skrilax]

(cf schéma).

On a négligé le dr² qui traînait là non ?

[Maks]

On a négligé le dr² qui traînait là non ?

Je ne comprends pas.

[Skrilax]

Je ne comprends pas.

Hé bien quand je calcule dV moi :



on développe et on trouve

C'est pour ça que je demande si dans l'expression de dV en coordonnées cylindriques on aurait pas négligé le dr².

[Black Jack]

Hé bien quand je calcule dV moi :



on développe et on trouve

C'est pour ça que je demande si dans l'expression de dV en coordonnées cylindriques on aurait pas négligé le dr².

(dr)² est un infiniment petit du second ordre et donc (dr)² < < < < dr

Et donc est négligeable devant

:zen: