[MIAS] Matrice d'inertie d'un cône plein

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche à calculer la matrice d'inertie d'un cône plein de hauteur h, de rayon R et de masse M,
comme celui de ce site: http://convergence.chez.tiscali.fr/phys/sup/meca/solid.htm#_Toc53762208

J'arrive presque au même résultat: je ne sais pas d'où vient le 1/2 devant le r^2 * p * d^3 t du d^3
Ioz

il correspond au (x^2 + y^2) du moment d'inertie, mais x^2 + y^2 = r^2 non ?

Bref, si vous pouviez m'aider à savoir d'où vient ce 1/2.

Est-ce que je peux calculer les moment d'inertie selon x et y en utilisant le raisonnement suivant:

p: masse volumique = (3*M) / (Pi * R^2 * h)
dt: élément de volume

D'après les symétries, Ix=Iy

Iz = Ix + Iy - 2 int^3 (z p dt)
Iz = 2 Ix - 2 int^3 (z p dt)
2 Ix = Iz + 2 int^3 (z p dt)
Ix = (1/2) Iz + int^3 (z p dt)
Ix = (1/2) Iz + p int (z dz, 0, h)

D'autre part, j'ai un peu de mal a me representer concretement les moments et produits d'inertie. En
particulier, comment fait on pour déterminer qu'un produit d'inertie est nul d'après les symétries ?
Dans le cône par exemple, si j'ai bien compris, les symétries d'après les plans xz et yz indiquent
que Pxz et Pyz sont nuls. Mais il n'y a pas de symétrie selon le plan xy, et pourtant Pxy est nul
aussi, pourquoi ?

Merci d'avance
Kim

[Anonyme]

"Kimkim" a écrit dans le message de news:
cjjas501fp1@enews3.newsguy.com...
> Bonjour,
>
> Je cherche à calculer la matrice d'inertie d'un cône plein de hauteur h,
> de rayon R et de masse M, comme celui de ce site:
> http://convergence.chez.tiscali.fr/phys/sup/meca/solid.htm#_Toc53762208
>
> J'arrive presque au même résultat: je ne sais pas d'où vient le 1/2 devant
> le r^2 * p * d^3 t du d^3 Ioz
>
> il correspond au (x^2 + y^2) du moment d'inertie,

Non, car il calcule Ioz comme s'il avait un empilement de disques pleins.
Or, le moment d'inertie par rapport Oz d'un disque plein de masse M et de
rayon R est bien 1/2*M*R^2.

> D'autre part, j'ai un peu de mal a me representer concretement les moments
> et produits d'inertie. En particulier, comment fait on pour déterminer
> qu'un produit d'inertie est nul d'après les symétries ?

Un théorème mathématique énonce qu'il existe toujours un systèmes d'axes
orthonormés (nommés alors axes principaux d'inertie) dans lequel la matrice
est diagonale (i.e. produits d'inertie nuls). Le problème est de déterminer
ce trièdre.

* s'il y a un plan de symétrie : tout axe perpendiculaire est axe principal
d'inertie.

* s'il y a un axe de symétrie, c'est encore plus simple, il est
automatiquement axe principal d'inertie.

Conclusion : cherchez les plans et axes de symétrie.

Pour le cône : Oxz et Oyz sont plans de symétrie et Oz axe de symétrie (de
révolution). Donc Oxyz est trièdre principal et les produits d'inertie sont
nuls.

--
rob

[Anonyme]

> Non, car il calcule Ioz comme s'il avait un empilement de disques pleins.
> Or, le moment d'inertie par rapport Oz d'un disque plein de masse M et de
> rayon R est bien 1/2*M*R^2.

Merci beaucoup =)

Cependant j'ai encore un problème:

quand je veux calculer Ix, je raisonne comme suit:

Selon les symétries, Ix=Iy

dm = p * dt

Iz = Ix + Iy - 2 int (z^2 dm) = 2 Ix - 2 int (z^2 dm)
=> Ix = 1/2 Iz + int (z^2 dm,0,h)

Je retrouve bien le 1/2 Iz de la matrice d'inertie, mais j'ai cependant une nouvelle erreur d'1/2
pour le deuxième terme. Je le calcule comme suit:

p = (3 * m)/(Pi * R^2 * h)
int (z^2 dm,0,h) = p * int (z^2 * Pi * r^2 * dz,0,h) = (1)

Or, d'après le théorème de Thales, r/R=z/h d'où r = z * R / h

(1) = p * int (z^2 * Pi * z^2 * R^2 / h^2 * dz,0,h)
= p * Pi * R^2 / h^2 * 1/5 * h^5
= (3 * m)/(Pi * R^2 * h) * (Pi * R^2 * h^5) / (5 * h^2)
= 3 * m * h^2 / 5

Alors que je devrais avoir 3 * m * h^2 / 10

D'où vient mon erreur ?

D'autre part j'arrive bien au bon résultat en considérant l'empilement de disques pleins, mais je ne
comprends pas où est l'erreur quand je dis que (x^2 + y^2) = r. Quand je raisonne de cette manière
pour une sphère par exemple, j'arrive au bon résultat pourtant !

Je suppose que c'est la même erreur qui me conduit au résultat erroné plus haut...

Merci encore
Kim

[Anonyme]

"Kimkim" a écrit dans le message de news:
cjlf1m030bb@enews1.newsguy.com...
> quand je veux calculer Ix, je raisonne comme suit:
>
> Selon les symétries, Ix=Iy
>
> dm = p * dt
>
> Iz = Ix + Iy - 2 int (z^2 dm) = 2 Ix - 2 int (z^2 dm)
> => Ix = 1/2 Iz + int (z^2 dm,0,h)
>
> Je retrouve bien le 1/2 Iz de la matrice d'inertie, mais j'ai cependant
> une nouvelle erreur d'1/2 pour le deuxième terme. Je le calcule comme
> suit:
>
> p = (3 * m)/(Pi * R^2 * h)
> int (z^2 dm,0,h) = p * int (z^2 * Pi * r^2 * dz,0,h) = (1)
>
> Or, d'après le théorème de Thales, r/R=z/h d'où r = z * R / h
>
> (1) = p * int (z^2 * Pi * z^2 * R^2 / h^2 * dz,0,h)
> = p * Pi * R^2 / h^2 * 1/5 * h^5
> = (3 * m)/(Pi * R^2 * h) * (Pi * R^2 * h^5) / (5 * h^2)
> = 3 * m * h^2 / 5

Ben oui, c'est bon ça !

> Alors que je devrais avoir 3 * m * h^2 / 10

Non...

>
> D'où vient mon erreur ?

Pas d'erreur )

Ix=Iz/2 + 3 * m * h^2 / 5

> D'autre part j'arrive bien au bon résultat en considérant l'empilement de
> disques pleins, mais je ne comprends pas où est l'erreur quand je dis que
> (x^2 + y^2) = r. Quand je raisonne de cette manière pour une sphère par
> exemple, j'arrive au bon résultat pourtant !

Le volume élémentaire dV ne doit pas être le bon. Ici, dV est le volume
élémentaire placé au point M de coordonnées (r, phi, z), c'est-à-dire le
volume d'une couronne d'épaisseur dz et de rayons intérieur et extérieur
respectifs r et r+dr, donc de surface pi*(r+dr)^2-pi*r^2=2*pi*r*dr en
négligeant les termes du second ordre en dr.

Donc dV=2*pi*r*dr*dz

Puis vous intégrez d'abord sur r (de 0 à r'), et vous finissez l'intégrale
sur z avec Thales.

--
rob

[Anonyme]

"rob" a écrit dans le message de news:
415e8d73$0$3047$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> élémentaire placé au point M de coordonnées (r, phi, z),

Oups, (r,z).

--
rob

[Anonyme]

> Pas d'erreur )
>
> Ix=Iz/2 + 3 * m * h^2 / 5


D'après mon livre la matrice d'inertie du cône est la suivante:


|R^2/2+h^2 0 0 |
3 * m | |
----- * | 0 R^2/2+h^2 0 |
10 | 0 0 R^2|

Ce serait donc une faute de frappe ? Grrrrrr, j'aurai donc cherché toute la matiné pour rien !

> Le volume élémentaire dV ne doit pas être le bon. Ici, dV est le volume
> élémentaire placé au point M de coordonnées (r, phi, z), c'est-à-dire le
> volume d'une couronne d'épaisseur dz et de rayons intérieur et extérieur
> respectifs r et r+dr, donc de surface pi*(r+dr)^2-pi*r^2=2*pi*r*dr en
> négligeant les termes du second ordre en dr.
>
> Donc dV=2*pi*r*dr*dz
>
> Puis vous intégrez d'abord sur r (de 0 à r'), et vous finissez l'intégrale
> sur z avec Thales.

Effectivement c'était une erreur de dV

Merci infiniment pour votre précieuse aide =)
Kim