je savais pas trop où placer cet exercice un peu particulier.
Je voudrais juste que vous me disiez si ce que j'ai fait est correcte, bien rédigé (voir complètement faux
)Voici l'exo (qui est bien un exo de maths et non de physique, je précise) avec ce que j'ai fait:
(désolé par avance pour la rédaction, je ne sais pas comment mettre les exposants, indices, etc..., e = exponentielle)
L'atmosphère terrestre contient de l'azote qui est transformé, sous l'effet du rayonnement cosmique en carbone 14 radioactif. les être vivants contiennent donc du carbone 14 qui est renouvelé constamment. A leur mort, il n'y a plus d'emprunt de carbone 14 à l'extérieur et le carbone 14 qu'ils contiennent se désintègre. Le temps écoulé depuis la mort d'un être vivant peut donc être évalué en mesuant la proportion de carbone 14 qui lui reste.
Soi N(t) le nombre d'atomes de carbone 14 existant à l'instant t exprimé en années, dans un échantillon de matière organique. on montre que N'(t) = -0.0001238.N(t)
La vitesse de désintégration est donc proportionnelle au nombre d'atomes présents.
a. En appelant N0 le nombre d'atomes de carbone 14 initial, déterminer N(t) en fonction de t.
L'équation N'(t) = -0.0001238.N(t) est une équation différentielle du type y'= ky où y' = N'(t) , y = N(t) et k = -0.0001238
Une fonction N définie et dérivable sur R est solution de cette équation si et seulement si, pour t , N(t) = Cekt où C est une constante.
- On montre que N est solution de l'équation.
Pour tout t ,
N'(t) = C.kekt
N'(t) = k C.ekt = k.N(t)
N est donc bien solution de l'équation y' = ky.
- On démontre que l'on peut écrire N(t) = N0.ekt où N0 est une constante (le nombre de noyaux initialement présents ne varie pas en fonction de t).
On construit une fonction g telle que pour t , g(t) = N(t).e-kt
g est définie et dérivable sur R
g'(t) = N'(t).e-kt + N(t).(-ke-kt)
g'(t) = e-kt (N'(t)-kN(t))
Or N est solution de l'équation y'= ky.
Donc N'(t) - kN(t) = 0
Donc g'(t) = 0. g est alors une constante. on pose g(t) = N0
D'où N(t)e-kt = N0 soit N(t) = N0.ekt = N0.e-0.0001238t
b. Quel est le pourcentage d'atomes de carbone 14 perdus au bout de 20000 ans?
On calcule le pourcentage d'atomes restant au bout de t = 20000 ans :
N(20000)/N0 = (N0.e-0.0001238x20000 / N0) = e-0.0001238x20000 = 8,4% (car N0>0)
Le pourcentage d'atomes perdus au bout de 20000 ans est donc de 100 - 8,4 = 91,6%
c. On appelle période (ou demi-vie) du carbone 14, le temps au bout duquel la moitié des atomes se sont désintégrés. Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, la période du carbone 14.
A t = t1/2 , 50% des noyaux radioactifs initialment présents se sont désintrégrés.
On a donc:
N(t1/2)/N0 = e-0.001238t1/2 = 0,5.
On trouve à l'aide de la calculatrice, t1/2 = 5598 ans.
d. On analyse des fragments d'os trouvés dans une grotte. on constate qu'ils ont perdus 30% de leur teneur en carbone. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'âge du fragment d'os.
On cherche l'âge t du fragment d'os. On sait qu'ils ont perdu 30% de leur teneur en carbone. La teneur en carbone 14 du fragment est donc de 70%. On a donc:
N(t)/N0 = e-0.001238t = 0.7
A l'aide de la calculatrice on trouve t = 2880 ans.
Voilà. J'apprécirais beaucoup que quelqu'un vérife mon travail et mes résultats.
Merci par avance.