Variation

[JuliaKori]

[FONT=Comic Sans MS][FONT=Arial]Bonjour,
voici mon énoncé :
Etudier les variations de la suite (Un) sachant que :
Un= 3*(1/2)^n+2n-1 [/FONT]

Merci d'avance![/FONT]

[Grimmys]

[FONT=Comic Sans MS][FONT=Arial]Bonjour,
voici mon énoncé :
Etudier les variations de la suite (Un) sachant que :
Un= 3*(1/2)^n+2n-1 [/FONT]

Merci d'avance![/FONT]

Bonjour,

Étudier le sens de variation de (Un) équivaut à étudier celui de la fonction f(n), définie ainsi :



Sachant ça je pense que tu peux maintenant faire ce que te demande ton énoncé.

[JuliaKori]

f(n)= 3*(1/2)^n+2n-1

Il faut donc séparer les 2 fonctions apparentes:
-f(x)=3*(1/2)^n -->je ne saurais pas dire si elle est croissante ou décroissant

-f'(x)=2n-1 qui est une fonction affine. Comme a>0, f'(x) est strictement croissante sur R

[titine]

Je te propose une autre méthode bien que celle de Grimmys soit très bonne.
Calcule U(n+1) - U(n)
Sauf erreur de ma part on trouve :
-3*(1/2)^(n+1) + 2
Il est assez facile de montrer que cela est positif pour tout n.
Donc U(n+1) > U(n)

[JuliaKori]

Un+1-Un = 3*(1/2)^(n+1)+2(n+1)-1 -(3*(1/2)n+2n-1)
=3*(1/2)^(n+1)+2n+1-(3*(1/2)n+2n-1)

Après le signe "-", avant la parenthèse, je change seulement les "+" et les "-" ?

[Grimmys]

Effectivement, excuse moi, je n'avais pas plus réfléchis que ça avant de répondre, et l'exposant n peut te poser soucis pour répondre avec ton niveau qui doit être celui d'un élève de 1er.

Un+1-Un est à la fois plus naturel et plus simple.

( sinon oui le " - " s'applique à tout les membres de la parenthèse que tu dois remplacer par leur opposé, c'est censé être acquis ça à ton niveau )

[JuliaKori]

Terminale :lol3:

Un+1-Un =3*(1/2)^(n+1)+2n+1-3*(1/2)n-2n+1
=3*(1/2)^(n+1)-3*(1/2)n+2

Et après?

[Grimmys]

Ah bon ? Terminale ES / L option maths dans ce cas non ?

Regarde le résultat de titine, il n'a pas l'air d'être le même... Tu t'es peut-être trompé quelque part...

[JuliaKori]

ES oui ...

Mais je n'ai pas finis mon calcul, je n'arrive pas à calculer 3*(1/2)^(n+1)-3*(1/2)^n ...

[titine]

ES oui ...

Mais je n'ai pas finis mon calcul, je n'arrive pas à calculer 3*(1/2)^(n+1)-3*(1/2)^n ...

Tu mets 3*(1/2)^n en facteur :
3*(1/2)^(n+1)-3*(1/2)^n = 3*(1/2)^n (1/2 - 1) = 3*(1/2)^n (-1/2) = - 3*(1/2)^(n+1)

[JuliaKori]

Donc 3*(1/2)^(n+1)-3*(1/2)^n+2
= 3*(1/2)^n (1/2 -1)+2
= 3*(1/2)^n (-1/2)+2
= - 3*(1/2)^(n+1)+2

Et pour les variations donc? Normalement si Un+1-Un>ou= à O, alors ma suite est croissante...
Mais comment savoir ici?

[JuliaKori]

Pourquoi 3*(1/2)^n (-1/2) = - 3*(1/2)^(n+1) ?

[titine]

Pourquoi 3*(1/2)^n (-1/2) = - 3*(1/2)^(n+1) ?

Parce que x^n * x = x^(n+1)
Donc (1/2)^n * (1/2) = (1/2)^(n+1)

[JuliaKori]

Ah d'accord merci beaucoup pour votre aide :++: !

[JuliaKori]

Mais comment savoir que ma suite est croissante,décroissante ou constante?

[JuliaKori]

On a certes - 3*(1/2)^(n+1)+2 mais je ne vois pas comment procéder...

[JuliaKori]

Quelqu'un pour m'aider

[JuliaKori]

J'ai bientôt finis :doh:

[titine]

Pour tout entier n , (1/2)^(n+1) 1/2
Donc -3 * (1/2)^(n+1) -3 * 1/2
Donc -3*(1/2)^(n+1) -3/2
Donc -3*(1/2)^(n+1) + 2 -3/2 + 2
Donc U(n+1) - Un 0,5 > 0
Comme U(n+1) - U(n) > 0 alors U(n+1) > U(n) Ce qui prouve que la suite est croissante.