Une propriété de l'hyperbole

par **rimou** » 16 Mar 2006, 18:22

bonjour à tous
Voila j'ai un dm a faire en maths mais il est beaucoupr trop difficile
Voici l'ennoncé de l'un des exercices:

Etant donné 3 points distincts d'une hyperbole, l'orthocentre du triangle formé par ces 3 points appartient aussi à l'hyperbole. Faire une figure qui demontre cette propriété.
Puis la demontrer avec cet exercice (livre maths 1ereS Declic page 428 num.60):

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (o,i,j), on considere 3 points distincts A,B et C de l'hyperble T d'equation y=1/x
On note a, b ,c les abscisses de A, B et C

1) Soit Da et Db les hauteurs issues de A et B dans le triangle ABC
Montrer que le vecteur Na (bc; -1) est normal a la droite Da puis determiner une equation de la droite Da.

2) determiner de même une equation de la hauteur Db.

Merci d'avance pour votre aide !

par **rimou** » 16 Mar 2006, 18:59

aidez moi s'il vous plait mon dm est pour samedi et je n'arrive^âs à faire cet exo

par **rimou** » 16 Mar 2006, 19:00

j'ai oublié une question dsl
3. Calculer alors les coordonnés de l'orthocentre du triangle ABC et verifier que ce point appartient à l'hyperbole
merci

par **rimou** » 17 Mar 2006, 13:50

pouvez vous m'aider s'il vous plait?? merci

par **rimou** » 17 Mar 2006, 21:00

S Il Vous Plait Aidez Moi C Est Pour Lundi C Est Tres Urgent Et J Ai Poste Mon Message Depuis Un Bout De Temps
Merci Bcp Et Svp Aidez Moi J En Au Beaucoup Besoin

par **Quidam** » 17 Mar 2006, 21:33

rimou a écrit:Dans le plan muni d'un repère orthonormal (o,i,j), on considere 3 points distincts A,B et C de l'hyperble T d'equation y=1/x
On note a, b ,c les abscisses de A, B et C

Trouver les coordonnées de A, B et C, c'est du niveau de troisième !
Les coordonnées de A sont : x=... y=...
Les coordonnées de B sont : x=... y=...
Les coordonnées de C sont : x=... y=...
Bon ! Donc ça, tu sais le faire !

rimou a écrit:1) Soit Da et Db les hauteurs issues de A et B dans le triangle ABC
Montrer que le vecteur Na (bc; -1) est normal a la droite Da puis determiner une equation de la droite Da.

"Montrer que le vecteur Na (bc; -1) est normal a la droite Da" c'est "Montrer que le vecteur Na (bc; -1) est parallèle au vecteur

. Montrer que deux vecteurs sont parallèles, c'est un travail de troisième ! Ensuite trouver l'équation de Da c'est du niveau de la première.

rimou a écrit:determiner de même une equation de la hauteur Db

C'est tout pareil !

rimou a écrit:"Calculer alors les coordonnés de l'orthocentre du triangle ABC"

C'est trouver le point d'intersection de deux droites dont on connaît les équations. Travail absolument standard de première !

rimou a écrit:et verifier que ce point appartient à l'hyperbole

Ca, c'est bon pour un troisième !

Alors, je ne vois rien de difficile pour un élève normal de première dans ce problème.

Montres-nous donc ce que tu as fait ! On verra alors si on a envie de te donner un petit coup de pouce, selon les efforts que tu sembles déployer...

par **rimou** » 18 Mar 2006, 15:25

je vous assure que je fais des efforts. Voici ce que j'ai fait, pouvez vous me corrigé ? merci
1°) les coordonnées de A sont (a;1/a) celles de B (b;1/b) et celles de C (c;1/c).
les coordonnés du vecteurs normal sont (c-b;b-c/bc)

Pour prouver que vNA est normal à Da il suffit donc de prouver que vNA et vBC sont colinéaires : ab'-ab'= (c-b)x(-1)-(bc)x b-c/bc
ce qui donne 0, on peut conclure qu'ils sont colineaires.

Connaissant un vecteur de coordonnées (u;v) normal à la droite (D), par le cours on sait qu'une équation cartésienne de la droite (D) est
ux+vy+w=0
Il suffit d'appliquer ce résultat en remplaçant u et v par les coordonnées de vNA .
Pour trouver w on utilise le fait que A appartient à Da donc on écrit que x=a et y=1/a vérifie l'équation (dans l'équation on remplace xpar a et y par 1/a) bien sûr il reste w mais on xprime w en fonction du reste (donc de a,b etc)
Il faudra trouver équation de Da:
(bc)x-y+1/a - abc=0

2) On fait de même pour Db

Voila j'ai fait les deux questions est ce que ca parait assez clair pour ecrire ca sur une copie à rendre?
si non pouvez vous faire des rectifications ou m'indiquer des erreurs, ou bien sinon me conseiller quelque chose pour ameliorer l'explication.

Merci

par **rimou** » 18 Mar 2006, 18:28

pouvez vous me corriger svp ?merci

par **rimou** » 18 Mar 2006, 19:08

s'il vous plait aidez moi je dois terminer ce dm ce week end, je compte vraiment sur vous pour me corrier svp merci

par **Quidam** » 18 Mar 2006, 20:16

rimou a écrit:s'il vous plait aidez moi je dois terminer ce dm ce week end, je compte vraiment sur vous pour me corrier svp merci

C'est bon ! Il ne te reste plus qu'à calculer l'intersection de ces deux droites pour trouver l'orthocentre et en déduire qu'il se trouve lui aussi sur l'hyperbole.

par **rimou** » 18 Mar 2006, 22:29

ok merci beaucoup mais je trouve quand même que mon raisonnement est superficielle.
Sinon pour l'orthocentre, je pense qu"il faut faire un système avec les 2 equation Da et Db. Si c'est cela qu'il faut faire, pouvez vous m'aider à l'etablir je ne vous cache pas que j'ai un peu du mal;
Merci

par **Quidam** » 18 Mar 2006, 22:36

(bc)x-y+1/a - abc=0
Je simplifie d'abord, avant de faire des calculs plus compliqués.
(abc)x-ay+1 - a²bc=0
Ensuite équation de Db :
(abc)x-by+1 - ab²c=0

Résoudre le système est simple :

(abc)x-ay+1 - a²bc=0
(abc)x-by+1 - ab²c=0

Je soustrait membre à membre :

(b-a)y -abc(a-b) = 0

Soit y=abc(a-b)/(b-a) = -abc

En reportant cette valeur dans l'une des deux équations, on obtient :
(abc)x+a²bc+1 - a²bc=0
(abc)x+1=0

x = -1/(abc)

Il est clair que ce point (-1/(abc),-abc) appartient à l'hyperbole d'équation y=1/x !

par **rimou** » 19 Mar 2006, 12:22

Merci pout ton aide
a plus tard !! :)

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