Tangente commune a une parabole et une hyperbole

[DarkCaillou]

Bonjour j'ai un DM de maths et j'ai vraiment du mal.

Données:
f(x)=x² et g(x)=1/x

Résoudre le problème revient à chercher un réel a et un réel non nul b tels que la tangente à la courbe Cf au point A(a;a²) coincide avec la tangente à la courbe Cg au point B(b;1/b).
*on montre qu'une équation de la droite Ta est: y=2ax-a²
*on montre ensuite que Ta est tangente à Cg au point B(b;1/b)si et seulement si:
{2a=-(1/b²)
{1/b=2ab-a²

La premiere équation donne a=-(1/b²) et en remplaçant dans la seconde équation on obtient 8b3=-(1/8)
Pour résoudre l'équation b3=-(1/8), on pourra d'abord vérifier que, pour tout réel x:
x3=(x+1/2)(x²-1/2x+1/4)

Rédiger une solution du problème étudié

Merci de m'aider s'il vous plait

[Carpate]

Bonjour j'ai un DM de maths et j'ai vraiment du mal.

Données:
f(x)=x² et g(x)=1/x

Résoudre le problème revient à chercher un réel a et un réel non nul b tels que la tangente à la courbe Cf au point A(a;a²) coincide avec la tangente à la courbe Cg au point B(b;1/b).
*on montre qu'une équation de la droite Ta est: y=2ax-a²
*on montre ensuite que Ta est tangente à Cg au point B(b;1/b)si et seulement si:
{2a=-(1/b²)
{1/b=2ab-a²

La premiere équation donne a=-(1/b²) et en remplaçant dans la seconde équation on obtient 8b3=-(1/8)
Pour résoudre l'équation b3=-(1/8), on pourra d'abord vérifier que, pour tout réel x:
x3=(x+1/2)(x²-1/2x+1/4)

Rédiger une solution du problème étudié

Merci de m'aider s'il vous plait

"On montre que ...", qui est on ?
C'est plutôt Montrer que ...
Tu connais l'expression d'une équation de la tangente en A(a,f(a)) à la courbe d'équation y = f(x)
Applique-la à f(x) = x^2

[DarkCaillou]

"On montre que ...", qui est on ?
C'est plutôt Montrer que ...
Tu connais l'expression d'une équation de la tangente en A(a,f(a)) à la courbe d'équation y = f(x)
Applique-la à f(x) = x^2

Oui je l'ai fais je trouve y=2ax-a²

[Carpate]

Oui je l'ai fais je trouve y=2ax-a²

Ensuite écrit l'équation de la tangente en B à la courbe d'équation
puis écrit que ces deux tangentes sont confondues donc ont même équation

[DarkCaillou]

Ensuite écrit l'équation de la tangente en B à la courbe d'équation
puis écrit que ces deux tangentes sont confondues donc ont même équation

Pour g(x) y=-(1/b²)x+1/b^3+1/b ?

[Black Jack]

Ensuite écrit l'équation de la tangente en B à la courbe d'équation
puis écrit que ces deux tangentes sont confondues donc ont même équation

C'est une bonne façon de faire ...

Mais pas celle demandée par l'énoncé.

:zen:

[Carpate]

Oui je l'ai fais je trouve y=2ax-a²

Oui, et la suite ?

[DarkCaillou]

C'est une bonne façon de faire ...

Mais pas celle demandée par l'énoncé.

:zen:

oui et est-ce juste ce que j'ai écrit ?*

[DarkCaillou]

Oui, et la suite ?

ben pour g y=-(1/b²)x+1/b^3+1/b ??

[DarkCaillou]

Pour g y=-x/b²+2/b

[Black Jack]

oui et est-ce juste ce que j'ai écrit ?*

Soit tu suis les conseils de Carpate ... qui mênent très facilement à la solution.
Donc tu cherches l'équation de la tangente au point d'abscisse b à la courbe représentatnt g(x) = 1/x
Tb : y = ...

Et puis tu identifies les coéfficients de même puissance en x des seconds membres des équations de Ta et Tb ...

*****
Soit tu suis les indications de l'énoncé (qui pour moi est un moins bon chemin, mais qui mène néanmoins à la solution)

A partir de Ta : y = 2ax-a²

Tu la fait passer par le point (b ; 1/b) et tu as la 2ème équation du système de l'énoncé.

Mais il restera quand à montrer que ce qu'on trouve au final convient (donc que Ta est bien une tangente et pas une sécante à la courbe représentant g(x))

...

:zen:

[DarkCaillou]

Soit tu suis les conseils de Carpate ... qui mênent très facilement à la solution.
Donc tu cherches l'équation de la tangente au point d'abscisse b à la courbe représentatnt g(x) = 1/x
Tb : y = ...

Et puis tu identifies les coéfficients de même puissance en x des seconds membres des équations de Ta et Tb ...

*****
Soit tu suis les indications de l'énoncé (qui pour moi est un moins bon chemin, mais qui mène néanmoins à la solution)

A partir de Ta : y = 2ax-a²

Tu la fait passer par le point (b ; 1/b) et tu as la 2ème équation du système de l'énoncé.

Mais il restera quand à montrer que ce qu'on trouve au final convient (donc que Ta est bien une tangente et pas une sécante à la courbe représentant g(x))

...

:zen:

Je prefererais suivre l'énoncé mais je ne comprend pas tout pourrait tu m'expliquer plus clairement stp ?

[Carpate]

C'est une bonne façon de faire ...

Mais pas celle demandée par l'énoncé.

:zen:

Pourtant l'énoncé dit bien :
"Résoudre le problème revient à chercher un réel a et un réel non nul b tels que la tangente à la courbe Cf au point A(a;a²) coincide avec la tangente à la courbe Cg au point B(b;1/b)"
Il n'impose pas de méthode pour exprimer cette coïncidence :
On peut indifféremment écrire :
- la tangente en A à la parabole coupe l'hyperbole en deux points confondus (avec le point B)
- la tangente en A à la parabole et la tangente en B à l'hyperbole sont confondues

isn't it ?

[Black Jack]

Pour g y=-x/b²+2/b

C'est juste ...

C'est la méthode préconisée par Carpate.

Il suffit alors de "faire ce qu'il faut" pour que les 2 équations suivantes représentent la même droite.

y = 2ax-a²
y=-x/b²+2/b

Tu arrives donc au système:

2a = -1/b²
-a² = 2/b

qu'il suffit de résoudre.
*****

Mais tu ne passeras pas ainsi par le "1/b=2ab-a²" de l'énoncé

:zen:

[Black Jack]

Pourtant l'énoncé dit bien :
"Résoudre le problème revient à chercher un réel a et un réel non nul b tels que la tangente à la courbe Cf au point A(a;a²) coincide avec la tangente à la courbe Cg au point B(b;1/b)"
Il n'impose pas de méthode pour exprimer cette coïncidence :
On peut indifféremment écrire :
- la tangente en A à la parabole coupe l'hyperbole en deux points confondus (avec le point B)
- la tangente en A à la parabole et la tangente en B à l'hyperbole sont confondues

isn't it ?

Pas si sûr, regarde ma réponse précédente.

Je considère ta méthode comme la plus directe ... mais tu ne passes pas, en la faisant, par le système donné par l'énoncé. (entre autre par la relation "1/b=2ab-a²")

Cela étant dit, je n'ai jamais aimé le style actuel qui impose presque tout en guidant l'étudiant à chaque carrefour au lieu de le laisser réfléchir. Et pour moi, ta méthode (qui est d'ailleurs aussi celle que j'avais adoptée pour résoudre le problème ... sans l'envoyer sur le site) est plus directe et plus facile.

:zen:

[Carpate]

Pas si sûr, regarde ma réponse précédente.

Je considère ta méthode comme la plus directe ... mais tu ne passes pas, en la faisant, par le système donné par l'énoncé. (entre autre par la relation "1/b=2ab-a²")

Cela étant dit, je n'ai jamais aimé le style actuel qui impose presque tout en guidant l'étudiant à chaque carrefour au lieu de le laisser réfléchir. Et pour moi, ta méthode (qui est d'ailleurs aussi celle que j'avais adoptée pour résoudre le problème ... sans l'envoyer sur le site) est plus directe et plus facile.

:zen:

Y'a quelquechose que je ne comprends pas :
"Pour résoudre l'équation b3=-(1/8), on pourra d'abord vérifier que, pour tout réel x:
x3=(x+1/2)(x²-1/2x+1/4)"
En passer par là pour trouver j'avais jamais vu ça !

[Black Jack]

Y'a quelquechose que je ne comprends pas :
"Pour résoudre l'équation b3=-(1/8), on pourra d'abord vérifier que, pour tout réel x:
x3=(x+1/2)(x²-1/2x+1/4)"
En passer par là pour trouver j'avais jamais vu ça !

Ce n'est pas à moi qu'il faut demander cela. :happy2:
Je n'approuve pas vraiment plusieurs points de cet énoncé, ou plutôt des indications qu'il donne pour arriver à la solution.
Faut croire que l'auteur aime le chemin des écoliers, celui avec moult détours.

Je suppose (mais c'est gratuit) qu'il a été enseigné qu'une équation du 3ème degré à coefficients réels a toujours 3 solutions dont une est réelle et les 2 autres soient réelles soit complexes conjuguées.
Et je suppose encore qu'il faut donc démontrer que dans le cas présent, il n'y a bien qu'une seule solution qui soit réelle à l'équation du 3ème degré x³ + 1/8 = 0

Mais, ne pense surtout pas que je cautionne, je ne fais qu'essayer de deviner les intentions de l'auteur.

:zen:

[oraetmath62]

C'est juste ...

C'est la méthode préconisée par Carpate.

Il suffit alors de "faire ce qu'il faut" pour que les 2 équations suivantes représentent la même droite.

y = 2ax-a²
y=-x/b²+2/b

Tu arrives donc au système:

2a = -1/b²
-a² = 2/b

qu'il suffit de résoudre.
*****

Mais tu ne passeras pas ainsi par le "1/b=2ab-a²" de l'énoncé

:zen:

Comment fait-on pour résoudre le système suivant svp :
2a = -1/b²
-a² = 2/b
parce que je n'y arrive pas