Triangle

[jeje56]

Bonjour,

Soit ABC un triangle tel que AC soit le plus grand côté ;

On construit D tel que BD=AC et CD=AB :
Sans utiliser la notion de triangles isométrique ou semblable, pourquoi peut-on dire que par construction, l'angle DBC est égal à l'angle BCA ?*


Merci !

[Ben314]

Salut,
La question me semble pas super claire (et il y a deux points D possibles) donc je vois plusieurs réponses :
1) Al-Kashi
2) Si D n'est pas du même coté de la droite (BC) que A alors ABDC est un parallélogramme et les angles sont "alterne-interne"

[jeje56]

J'ai effectivement oublié la contrainte : B et D de part et d'autre de la droite (AC)...

[Ben314]

Bon, dans ce cas, ABCD est un trapèze "symétrique", mais c'est pas évident à montrer sans utiliser les triangles isométrique...
Je te propose alors :
1) Al-Kashi (ça forcément ça marche, mais c'est un peu de la triche...)
2) Utiliser la reflexion d'axe la médiatrice de [BC] : elle envoie évidement B sur C, mais aussi A sur D et elle conserve les angles (non orientés)

[jeje56]

Je construis alors E le quatrième point du parallèlogramme ABCE et F le quatrième point du parallèlogramme BDCF et je dis B et C appartiennent aux médiatrices de [ED] et [FA]... Je vois presque comment en déduire que la médiatrice de [BC] est un axe de symétrie mais j'ai du mal à poursuivre...

[Ben314]

Les points M tels que BM=AC sont ceux sur le cercle de centre B et de rayon AM. Ceux tels que CM=AB sont ceux sur le cercle de centre C de rayon AB.
Ces deux cercles se coupent en deux points car la somme AB+AC des rayons est strictement plus grande que la distance BC entre les centres et la différence des rayons AC-AB et strictment plus petite que BC.
Le point D est l'un de ces deux points d'intersection, en fait celui tel que B et D soient de part et d'autre de la droite (AC)

Si on considère la réflexion r d'axe la médiatrice de [BC], on a évidement r(B)=C et r(C)=D. Posons E=r(A).
Comme r conserve les longueurs, on a EB=r(A)r(C)=AC et EC=r(A)r(B)=AB donc E est un des deux points sus-mentionnés (soit D, soit l'autre point)

Arrivé à ce point, comme ça me gonfle de traduire en math "super propre" le fait que "B et D soient de part et d'autre de la droite (AC)", je m'emmerderais pas trop et j'affirmerait :
Il est clair au vu du dessin que E et B sont bien de part et d'autre de la droite (AC) et cela prouve que D=E.

Edit : y'a une preuve "carré carré" pas trop compliqué du fait que E et B sont bien de part et d'autre de la droite (AC) :
Comme AC>AB, le point A et du même coté que B de la médiatrice de [BC] donc le segment [AC] coupe la médiatrice en un point O.
Comme r(O)=O, r(A)=E et r(B)=C, le point O est aussi sur le segment [BE].
Cela prouve que les segments [BE] et [AC] se coupent, ce qui prouve en particulier que B et E sont de part et d'autre de la droite (AC).