Aire d'un triangle dans un cercle trigonométrique.

[nartoof]

Bonjour, je fais appel à votre forum car je suis bloqué depuis 4h maintenant sur la même question et le pire c'est que la réponse est donnée mais je n'arrive pas à la retrouver...
Je vous donne l'exercice :

Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j), C désigne le cercle de centre O et de rayon 1. On note A et A' les points de coordonnées (1 ; 0) et (-1 ; 0). A partir de tout point H du segment [AA'] , on mène la perpendiculaire d à la droite (AA'). La droite d coupe le cercle C en deux points M et M'. On cherche comment placer H pour que l’aire du triangle AMM' soit maximale.

1.On note x l’abscisse du point H
Calculer l'aire du triangle en fonction de x.
2.On note f la fonction définie sur [-1 ; 1] par f(x)= (1-x) X racine(1-x²). On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d’unité 4 cm.
a.Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 1.
b.Etudier les variations de f.
3.Montrer que le triangle AMM' d’aire maximale est équilatéral.
4. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire AMMé est égale à 1.

Voila le problème. En ayant sauté la question 1, j'ai pu faire la fin de l'exercice.
Le seul problème, c'est que je sais que je dois trouver une aire du triangle de (1-x) X racine (1-x²), mais j'ai beau retourner le problème dans tout les sens je n'ai rien trouvé. Si quelqu'un peut m'aider, ce serait avec grand plaisir. Et si éventuellement il a déjà fait l'exercice, s'il peut me confirmer la suite des réponses pour vérifier l'éxactitude de mes résultats. Merci d'avance à tous ceux qui vont tenter de se pencher sur le sujet.
Salut ! :we:

[LN1]

Bonjour,

je suppose que tu as fait un dessin?

l'aire du triangle AMM' est toujours : base * hauteur /2

prend donc pour base MM' et pour hauteur HA

la hauteur HA est facile à calculer en fonction de x. (Si tu ne vois pas tu peux calculer d'abord les coordonnées du vecteur HA pour en déduire sa longueur).
La base MM' demande un peu plus de travail :
MM' = 2HM
et tu peux calculer HM, en fonction de x, dans le triangle rectangle OHM

Bon courage

[becirj]

1. Pour éviter de distinguer des cas suivant le signe de x



2.f est non dérivable en -1 mais dérivable en 1

3. Sur f admet un maximum pour

4. 2 solutions x=0 et une deuxième valeur avec -0,84<<-0,83

[nartoof]

Voila l'astuce qu'il me manquait !
J'avais sans difficulté trouvé que HA valait 1-x, merci de me le confirmer tout de meme, et j'ai aussi déduit que MM' = 2MH, cependant je ne compren pas pourquoi MM' vaudrait 2V(1-x²). Pourquoi racine de (1-x²) ??
Si vous l'avez mis avec évidence c'est que ca doit se voir comme le nez au milieu de la figure, mais la j'ai beau avoir retourné la question je n'en ai pas naturellement déduit cette égalité...
Et même dans un triangle OHM j'ai testé et cette application n'a pas porté ses fruits, je vais réessayer maintenant que vous me confirmez qu'il faut persévérer avec ce triangle et pythagore mais je n'ai pas réussi ce matin.
Merci en tout cas pour votre rapidité.

[becirj]

j'applique le théorème de Pythagore dans le triangle OHM
OM=1 (rayon) ; OH=

[nartoof]

écoutez, j'ai un peu honte de moi sur le coup, j'avais pas du tout percuté que je restais dans un cercle et que du coup OM' = 1 a cause du rayon du cercle...C'était la valeur qui me bloquait pour pythagore. Je remercie tout ceux qui se sont penché sur le sujet :++: , et je vais retourner au collège pour trouver les rayons des cercles... :marteau: :triste:
Merci a tous !!! Salut !

[nartoof]

Désolé, mais c'est encore moi, avec mes petits problèmes mathématiques...
J'ai réussi à finir l'exercice sauf que, pour démontrer que le triangle est équilatéral dans la question 3), je trouve ma méthode laide et tirée par les cheveux, mais c'est la seule que j'ai trouvée. Pourriez vous m'indiquer vos idées pour que je puisse voir si ce n'est pas possible d'embellir ma démonstration, merci d'avance :we:
Salut !

[becirj]

Une méthode qui me semble assez jolie !
- est le cosinus de donc et soit en utilisant les angles géométriques = . On en déduit que


Les cordes d'un cercle interceptées par des angles au centre égaux sont égales donc le triangle est équilatéral.

Bonne soirée.