Etude triangle semblable,aire triangle...

[etigau]

Bonjour, j'ai un Dm de math 1ere S dont je ne trouve pas comment résoudre la première question:

On considère le carré ABCD de côté AB = 4 cm. I et J sont
les milieux des côtés [AD] et [BC] respectivement.
Le point M se déplace librement sur le segment [A;B]. On pose AM = x.
Le point N 2 (BC) est tel que le triangle IMN est rectangle en M.

Le but de cet exercice est d’étudier les variations de l’aire du triangle IMN
en fonction de x.
Partie A : Calcul de l’aire du triangle
1. Montrer que les triangles IAM et MBN sont semblables. En déduire
la longueur BN en fonction de x.

Voila n'ayant jamais entendu parler de triangle semblable,j'ai fais des recherches sur le net, mais je n'arrive quand même pas à répondre:
Si j'ai bien compris, on doit avoir par exemple l'angle I=angle M et angle M= angle N
Mais on n'a pas assez de donné nan? on s'est que A=90°, M aussi, N= 90-I, I=90-N... ça m'avance à quelque chose?...

Enfaite je suis déja pas sur d'avoir saisie se qu'étais des triangles semblable, j'avance un peu dans le flou, un peu d'aide serais la bienvenue. Merci

[Ericovitchi]

C'est une notion courante. Un peu de révision :

Deux triangles semblables ont leurs côtés proportionnels.

En géométrie euclidienne, il existe trois théorèmes pour démontrer que deux triangles sont semblables :

1. Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, alors ils sont semblables (théorème de Thalès).
2. Si deux triangles ont au moins 2 de leurs angles égaux, alors ils sont semblables.
3. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels, alors ils sont semblables.


Alors effectivement on va utiliser le 2)
Il faut utiliser le fait que l'on a affaire à des triangles rectangles et que dans les triangles rectangles, les angles aiguës sont complémentaires (leur somme vaut 90°)
Par exemple AIM est le complémentaire de AMI mais BMN aussi (car BMN+AMI+90 = 180) donc BMN = AIM et de la même façon AMI=BNM donc les deux triangles ont des angles égaux deux à deux. Ils sont bien semblables.

[etigau]

Merci beaucoup, j'étais un peu à cotés de la plaque :p
Mais finalement c'est pas si dur que ça.
Pour en déduire la longueur BN en fonction de x, je pense avoir compris qu'il faut que j'utilise cette citation : "Deux triangles semblables ont leurs côtés proportionnels"
Pour répondre il suffit que je dise :"Comme les triangle IAM et MBN sont semblable ,leurs cotés... et donc plus AM (x) est grand,plus BN l'est également".
Ou je doit donné une relation avec des lettres?

[oscar]

Deux triangles sont SEMBLABLES si:
a)
Ils ont deux angles égaux chacun à chacun
b)
Ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels
c)
ils ont les trois côtés proportionnels

[etigau]

Merci oscar, mais je m'intéresse désormais à la 2ème partie de la question :)

[oscar]

Deux triangles RECTANGLES sont SEMBLABLES s' ils ont 1 angle aigu égal
comme équiangles

[etigau]

Lol ce paragraphe répond à la question des triangles semblable:

"Il faut utiliser le fait que l'on a affaire à des triangles rectangles et que dans les triangles rectangles, les angles aiguës sont complémentaires (leur somme vaut 90°)
Par exemple AIM est le complémentaire de AMI mais BMN aussi (car BMN+AMI+90 = 180) donc BMN = AIM et de la même façon AMI=BNM donc les deux triangles ont des angles égaux deux à deux. Ils sont bien semblables."


Je demande désormais de l'aide pour la suite de cette question :
En déduire la longueur BN en fonction de x

J'ai proposé une solution plus haut, mais je ne suis pas sur qu'elle soit bonne.

[Ericovitchi]

Pour trouver BN tu utilises maintenant le fait que tes 2 triangles sont semblables :

BN/AM=MB/IA = MN/IM donc par exemple BN/x=(4-x)/2
BN=x(4-x)/2

[etigau]

Merci beaucoup :)

Après il demande:
2. (a) À quel intervalle appartient x ?
(b) À l’aide d’un tableau des variations, donner un encadrement de
BN.
(c) En déduire que N 2 [BJ].


Il faut encore utilisé les triangle semblable? Car moi je dirais juste que X appartient à l'intervalle [0;4], mais après pour faire un tableau de variation, il me faut une fonction, mais j'en est pas ( à moins que ça ne soit f(x)= BN/(4-x)/2 ?)...Désolé je ne suit pas très doué...