[Défi]Triangle equilatéral

[benekire2]

Bonjour, je propose un petit défi pour tout les niveaux ( pas la démo, seulement abordable pour les term S).

Soit un repère orthonormé
Peut on trouver un triangle équilatéral ayant des sommets dont les coordonnées sont entières ?

[Zweig]

Salut,

Soit la longueur du côté d'un tel triangle. Comme les sommets appartiennent à , alors est un entier naturel. Par suite, l'aire du triangle est :



qui est clairement irrationnelle. Or d'après la formule de Pick, un tel triangle a une aire rationnelle, ce qui constitue une contradiction.

Ainsi un tel triangle n'existe pas.

Plus généralement, parmi les -gones réguliers, seul le carré peut avoir tous ses sommets à coordonnées entières, sauf erreur (oral d'Ulm).

[benekire2]

Ouais si les souvenirs sont bons c'est ça la solution...

[benekire2]

Il y a une solution avec les complexes apparemment, mais je ne l'ai pas trouvée...

[Zweig]

Oui bien sûr, on aurait pu faire ça avec les complexes, mais la solution est je pense, sensiblement plus longue et plus technique.

[benekire2]

Oui bien sûr, on aurait pu faire ça avec les complexes, mais la solution est je pense, sensiblement plus longue et plus technique.

Euh, si ça te dérange pas, comment on aurait fait?
Merci.

[Zweig]

J'y réfléchis :we: Ca sent les entiers de Gauss ...

[benekire2]

OK, mais en principe elle est faisable qu'avaec des outils lycée, et je sias pas si le Td Pick est vu au lycée ( il est pas compliqué mais je sais pas si il est au prog)

[Nightmare]

Peut être en utilisant la caractérisation d'un triangle équilatéral par les affixes des sommets : A(a)B(b)C(c) est équilatéral si et ssi a²+b²+c²=ab+bc+ca !

[benekire2]

Oui j'y avais réfléchis mais j'y suis pas parvenu...

[Timothé Lefebvre]

Salut :)

J'avais déjà vu cette démo, mais elle était faite en deux parties : d'abord on essaye de démontrer ça pour trois entiers consécutifs, puis on généralise.

Peut-être plus atteignable.

[benekire2]

C'est à dire ? Tu peut nous l'écrire stp ?

[Timothé Lefebvre]

Oh je dois encore avoir le PDF :)
Je le trouve et je te le mets en ligne.

[benekire2]

Ok merci tim , le militaire ^^

[Timothé Lefebvre]

"Fils de" mais pas militaire encore ^^

[benekire2]

Ah dommage^^ une journée dans la base n'aura pas suffit pour te convaincre de t'engager dans l'armée... mince alors.

[Timothé Lefebvre]

Voilà : Voir le Fichier : Tri_Long_Ent.pdf

Bon, c'est pas tout à fait ton sujet mais c'est pas mal

[Timothé Lefebvre]

Va voir, je raconte dans mon topic lol ;)
On en parle là-bas ^^

[benekire2]

OK... Pour notre triangle équilatéral, le plus simple c'est la première méthode, mais le problème c'est que c'est pas niveau lycée...