Triangle équilatéral : distance d'un sommet au centre de gra

[Diesel]

Bonjour à tous,

À un précédent examen de géométrie, la question "Que vaut, exprimée à l'aide de la longueur l des côtés d'un triangle équilatéral, la somme des carrés des distances du centre de gravité de ce triangle à ses sommets ?"


Je connais la réponse (c'est l²), mais je ne trouve pas du tout cette réponse.

Voici ce que j'ai fait.



(M est le milieu entre B et C.)





En posant G, le centre de gravité.



Et donc ma réponse à la question posée était :


Bref, je suis loin du compte. Quelle est mon erreur ? Je suspecte que je ne peux pas dire que |AG| = 1/2|AM|, mais dans ce cas, quelle est la formule ou alors mon approche est-elle tout à fait fausse ?

Merci d'avance si quelqu'un arrive à, encore une fois, m'éclairer.

[Cliffe]

c'est racine de 2

pk mettre la valeur absolue sur les longueurs ?

[Diesel]

Oui, effectivement, c'est racine de 2 et je mets des normes parce qu'il s'agit de vecteurs (je ne sais pas comment mettre des flèches sur les lettres dans le formattage).

Mais même en corrigeant cette erreur, je n'obtiens toujours pas l² comme solution, car
|AG|=|AM|/2
Donc
Et la somme des carrés :
Donc

[Cliffe]

et je croit que c 2/3 la distance au sommet.

[Diesel]

Faut vraiment que je fasse autre chose que des maths, ça ne me réussi pas. Merci et désolé de ne même pas être capable de savoir que 2^2 != 2 :mur:

Dernière question, comment fait-on pour savoir que la distance est 2/3 et non pas 1/2 ? Je ne trouve ça nulle part dans mon cours.

[Cliffe]

j'ai dit ça de mémoire, mais ça à l'air d'être correct : http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/Trgequil.htm

[Ericovitchi]

je ne comprends pas bien. C'est bien la somme des carrés des distances du centre de gravité de ce triangle à ses sommets, que l'on cherche ?
le centre de gravité est au tiers des médianes qui sont aussi les hauteurs et la hauteur vaut donc ça donne

donc c'est bien l² la réponse.

[Diesel]

Oui, c'est bien l² la réponse, mais je ne vois dans aucune de mes notes des formules spécifiques au triangles comme celles que vous venez de me donner.

Je viens de recevoir la correction "officielle" de l'exercice et je suis assez perdu. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer les différentes étapes qui mènent aux égalités à |GA|² ? Car à part la dernière qui n'est qu'additioner et multiplier des nombres, je ne vois pas d'où ces égalités viennent.

[Shew]

Bonjour à tous,

À un précédent examen de géométrie, la question "Que vaut, exprimée à l'aide de la longueur l des côtés d'un triangle équilatéral, la somme des carrés des distances du centre de gravité de ce triangle à ses sommets ?"


Je connais la réponse (c'est l²), mais je ne trouve pas du tout cette réponse.

Voici ce que j'ai fait.



(M est le milieu entre B et C.)





En posant G, le centre de gravité.



Et donc ma réponse à la question posée était :


Bref, je suis loin du compte. Quelle est mon erreur ? Je suspecte que je ne peux pas dire que |AG| = 1/2|AM|, mais dans ce cas, quelle est la formule ou alors mon approche est-elle tout à fait fausse ?

Merci d'avance si quelqu'un arrive à, encore une fois, m'éclairer.

Euh oui j'avais pas lu, on cherche le centre de gravité donc evidemment M est le milieu de BC donc on devrait avoir et non pas

[Diesel]

Le triangle est equilateral donc les droites remarquables sont confondues et M est le milieu de BC donc on devrait avoir et non pas

Oui, Cliffe me l'a déjà fait remarqué, j'ai même fait cette erreur deux fois.

[Shew]

Oui, Cliffe me l'a déjà fait remarqué, j'ai même fait cette erreur deux fois.

Ah okkk :ptdr:

[Diesel]

Par contre, si tu arrives à répondre à ma dernière question, je ne dis pas non :)
Je suis nul en math et je commence sérieusement à me demander si j'ai bien fait de choisir des études avec autant de math :(

[Shew]

Par contre, si tu arrives à répondre à ma dernière question, je ne dis pas non
Je suis nul en math et je commence sérieusement à me demander si j'ai bien fait de choisir des études avec autant de math

Une seule chose me dérange dans cette définition, A est il un sommet ou le milieu du côté opposé au sommet parce que nous devrions avoir (A' etant le milieu du côté opposé à A)

[Diesel]

A est un sommet, oui, mais je comprends maintenant mon problème initial.

Mon nouveau problème est de comprendre la correction qu'on nous a fournie. :hein3:

[paquito]

Oui, c'est bien l² la réponse, mais je ne vois dans aucune de mes notes des formules spécifiques au triangles comme celles que vous venez de me donner.

Je viens de recevoir la correction "officielle" de l'exercice et je suis assez perdu. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer les différentes étapes qui mènent aux égalités à |GA|² ? Car à part la dernière qui n'est qu'additioner et multiplier des nombres, je ne vois pas d'où ces égalités viennent.

Ce qu'on te dit, d'ailleurs de façon abusive, c'est que , donc,
, donc

[Diesel]

Abusif ? Tu parles de la somme au départ disant G = 1/3A + 1/3B + 1/3C ?

Car ce n'est pas abusif, dans mon cours de géométrie affine, il est dit que

l'expression représente un point si la somme des et un vecteur de l'espace vectoriel sur lequel est modelé l'espace affine dans lequel on travaille si cette somme vaut 0 (les étant des points de l'espace affine).

Mais je vais retenir que je peux en définitive voir ça comme ça, ce sera plus simple pour ma compréhension, car ce prof aime bien rendre des notions assez simples, assez compliquées :/ Merci beaucoup, ça m'avance pas mal

[paquito]

Oui, c'est bien l² la réponse, mais je ne vois dans aucune de mes notes des formules spécifiques au triangles comme celles que vous venez de me donner.

Je viens de recevoir la correction "officielle" de l'exercice et je suis assez perdu. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer les différentes étapes qui mènent aux égalités à |GA|² ? Car à part la dernière qui n'est qu'additioner et multiplier des nombres, je ne vois pas d'où ces égalités viennent.

Ce qu'on te dit, d'ailleurs de façon abusive, c'est que , après tu as , d'où , ce qui te permet de comprendre la suite du corrigé. Petit détail,

La notation est valable sur géogégra, sinon, vu le programme, elle n'a pas de sens!!!

[Shew]

A est un sommet, oui, mais je comprends maintenant mon problème initial.

Mon nouveau problème est de comprendre la correction qu'on nous a fournie. :hein3:

De ce que je comprends ici en fonction des notions acquises concernant les rapports entre les vecteurs et le centre de gravité on aurait en partant du principe que A' est le milieu du côté opposé de A, et

il s'en suit donc :




Comme on a bien



Après developpement de la parenthèse on devrait avoir :


les côté AB et AC ont

(apparement) la même mesure l donc :

et comme donc au finale on a bien




Et enfin et donc




ouuuufffff fini :lol3:

[Diesel]

Merci à vous deux, je vous suis très reconnaissant pour prendre autant de temps pour expliquer des trucs basiques à des gens longs de la détente comme moi ^^

Je pense que maintenant, je n'ai plus de souci pour du moins cet exercice.

Pour ce qui est de la notation, mon cours est trouvable en ligne sur la page web de mon professeur, si jamais tu te demanderais ce que c'est cedont je parle.

http://www.geothalg.ulg.ac.be/cours1C/index.html
(2.3.1) Combinaisons affines

[paquito]

En fait, cette notation ne peut amener que des confusions; par exemple, pour tout point M on peut écrire, ce qui a donné, cette notation a été très peu utilisée et abandonnée pour des raisons pédagogiques.

Sinon les résultats données font clairement intervenir les barycentres, ce qui est clairement hors programme.

Donc la relation signifie que pour tout point M du plan:

et si tu prends , ça donne:

et là, tu peux élever au carré scalaire et obtenir ton résultat.

Enfin, jouant des rôles symétriques, il n'y a qu'une seule démonstration à faire.