Centre de gravité aux 2/3 de la hauteur - Triangle équilatéral

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes

L'information suivante est un admis depuis le collège :

"Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité (point d'intersection des médianes) se situe au 2/3 de la médiane"

Comment peut-on démontrer cela ?

Merci

[Imod]

Le triangle n'a pas besoin d'être équilatéral .

Si tu appelles ton triangle ABC , tu considères le point D tel que ABCD soit un parallélogramme et tu traces la diagonale [BD] . Tu notes I,J,K les milieux de [AC],[BC]et [AD] , après il reste à observer .

Imod

[Manny06]

Bonjour à tous et à toutes

L'information suivante est un admis depuis le collège :

"Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité (point d'intersection des médianes) se situe au 2/3 de la médiane"

Comment peut-on démontrer cela ?

Merci

d'abord c'est vrai dans un triangle quelconque
on peut le démontrer avec les barycentres ou plus simplement avec Thalès et la droite des milieux

[jl29]

Soit G l'intersection de deux médianes, par exemple celles issues de A et de B, de pieds respectifs A' et B';
Notons G' le symétrique de G par rapport à A';
Le quadrilatère BGCG' est un parallélogramme (car c'est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu)
Donc (BB') / /(G'C);
Dans le triangle ACG', (GB') passe par le milieu de [AC] et (GB') // (G'C);
G est donc le milieu de [AG']; (propriété de la droite des milieux)
Par suite GA est le double de GA'.

[annick]

Bonjour,
je verrais ça comme ça : (je parlerai en vecteurs, même si je n'ai pas la flèche dessus)

le centre de gravité est tel que

GA+GB+GC=0
GA+(GA+AB)+(GA+AC)=0
3GA+AB+AC=0
3AG=AB+AC
AG=(AB+AC)/3

Si A' est le milieu de [BC], AB+AC=2AA' (A cause du parallélogramme formé pour trouver AB+AC, dont la diagonale passe par A'.

Soit :

AG=(2/3)AA' Et donc G est bien au 2/3 de la médiane.

On pourrait faire de même en raisonnant avec B' et c4 les deux autres milieux et ainsi, ton théorème est démontré.