Transformations complexes

par **lapras** » 03 Sep 2007, 19:18

Bonsoir,
J'ai fini le chapitre sur les complexes, mais une question me vient :
a quoi servent les trasformations dans le plan complexes ?
Merci !

par **Joker62** » 03 Sep 2007, 19:21

à faire décrire les transformations simplement !

Une rotation en passant par les complexes c'est quand même facile...

par **lapras** » 03 Sep 2007, 19:22

Mais les rotation dans le plan pas complexe, c'est aussi simple, non ?

par **Joker62** » 03 Sep 2007, 19:25

Ben, je sais pas, donne moi une fonction de R² dans R² qui à un point du plan associe son image par la rotation de centre (2,2) et de rayon 4

par **lapras** » 03 Sep 2007, 19:30

Bah tu prend le centre O (2 , 2)
soit M(x;y)
x = 2 + 4*cos(theta)
y = 2 + 4*cos(theta)

Démontrable grâce au complexe éventuellement !

par **anima** » 03 Sep 2007, 19:32

lapras a écrit:Bah tu prend le centre O (2 , 2)
soit M(x;y)
x = 2 + 4*cos(theta)
y = 2 + 4*cos(theta)

Démontrable grâce au complexe éventuellement !

... Et en complexe,

. C'est pas tellement plus simple?

par **lapras** » 03 Sep 2007, 19:34

Anima :we:Si je l'avoue c'est plus simple !
:ptdr:
Mais bon ^^
Autre question :
a quoi sert la résolution d'équations du second degré complexes ? Si la solution n'est pas réelle, elle ne nous servira jamais, non ??

par **quinto** » 03 Sep 2007, 19:39

Les transformations d'un point de vu complexe sont vraiment plus simples. En fait, tu ne peux pas vraiment apprécier la puissance de ces transformations à ton niveau parce que l'on étudie que des transformations triviales, mais d'un point de vu général, elles sont vraiment très puissantes.

Par exemple, toute transformation qui conserve localement les angles de R^2 dans R^2 et qui est différentiable de différentielle non nulle est une application complexe dérivable de dérivée non nulle.

Les applications complexes dérivables sont bien connues et se comportent de façon très rigides, à savoir que tu ne peux pas leur faire faire n'importe quoi, ce qui serait le cas des fonctions réelles.

Par exemple, une fonction complexe dérivable est entièrement déterminée dès que l'on connait ses valeurs sur un ensemble très petit (i.e. qui contient un point d'accumulation), etc.

Les applications complexes nous simplifient la vie tout simplement.
Exemple,
es-tu capable de trouver une application de R^2 dans R^2 qui conserve les angles et qui envoie bijectivement le disque unité sur le demi plan supérieur ?
Amuse toi bien...

Autre chose, est-ce que l'on peut passer d'un domaine sans trou de R^2 à un autre via une application continue, bijective et d'inverse continu ?
Ce n'est pas trivial du tout, mais en passant dans le cadre de l'analyse complexe, c'est toujours non trivial, mais vraiment vraiment plus simple ...

par **quinto** » 03 Sep 2007, 19:41

lapras a écrit:Anima :we:Si je l'avoue c'est plus simple !
:ptdr:
Mais bon ^^
Autre question :
a quoi sert la résolution d'équations du second degré complexes ? Si la solution n'est pas réelle, elle ne nous servira jamais, non ??

Trois remarques:
Est-ce qu'un nombre complexe a moins de réalité dans la nature que les nombres réels ?

Deuxième remarque:
Considère un dispositif masse ressort parfait ou éventuellement entrenu, peu importe.
Tu vas être amené à résoudre l'équation différentielle
x"(t)+w^2x(t)=0

que penses tu des solutions de cette équation différentielle ?

Troisième remarque:
Est-ce que tu penses qu'une matrice / un vecteur a plus de réalité physique qu'un nombre complexe ?

par **anima** » 03 Sep 2007, 19:42

lapras a écrit:Anima :we:Si je l'avoue c'est plus simple !
:ptdr:
Mais bon ^^
Autre question :
a quoi sert la résolution d'équations du second degré complexes ? Si la solution n'est pas réelle, elle ne nous servira jamais, non ??

Quand tu apprendras a résoudre une équa diff du second ordre, tu te diras "Putain que c'est puissant". J'explique:

Soit

. On veut résoudre cette équation diff. a,b,c constants.
On recherche une (ou plusieurs suivant le cas) solutions de la forme

(le

n'aura au final aucune influence, c'est juste pour dire qu'on peut tout avoir la).
On dérive une fois:

On dérive une seconde fois:

Et la, on réinjecte tout dans l'équation. On se retrouve avec

.

est solution particuliere, on la garde en mémoire. On pose ensuite

, et on divise les 2 membres par

.

ne peut pas s'annuler. On peut donc diviser peinard par

. ET la...

MIRACLE!
Toute solution de l'équa homogene du second ordre a coefficient constant tient a

ssi t est racine de l'équation

. C'est pas beau ca?
Si

, deux solutions. On les additionne, ca te donne comme solution de l'équa diff:

Si

, une racine double; les constantes vont former un binome (Dérivation, ha ha ha). On a donc

Si

, résolution par les complexes. Je suppose que tu sais ce que donne

... A faire 2 fois.

P.S: cette petite démonstration tient pour moi du hors-programme le plus complet. C'est pour ca que si je me suis trompé sur la raison d'etre du

pour Delta = 0, je m'en excuse, je n'ai pour le moment trouvé que ca comme solution.

par **quinto** » 03 Sep 2007, 19:44

Autre remarque:
A quoi ca sert de résoudre une équation du second degré dans R tout court ?

Le fait que tu travailles avec des nombres transcendants ça ne te choque pas, alors que le fait de travailler avec des nombres de carré négatif si ? Pourquoi donc ? Parce que depuis ta plus tendre enfance on t'a dit que ca n'existait pas et tout à coup on te dit que ca existe.
Si on te l'avait dit dès le début, tu ne te poserais surement pas la question de la légitimité de C.

Une dernière remarque au passage:
dans un circuit éléctrique, en courant continu les intensités aux noeuds s'additionnent.

Qu'en penses tu lorsque tu es en courant alternatif (disons en régime permanent pour simplifier) ?

par **lapras** » 03 Sep 2007, 20:00

Quinto, je suis désolé mais je dois résoudre un probleme d'arithmétique ce soir, et ma "famille" veut l'ordi, donc je n'aurais pas le temps de répondre à ce sujet, mas j'espere pouvoir demain.
Bonne soirée

par **lapras** » 04 Sep 2007, 17:33

Salut,
anima, pour ta démo, ce sont uniquement les solutions d'une certaine forme que tu trouves, non ?
Existe il des solutions d'autres formes ?

par **anima** » 04 Sep 2007, 18:41

lapras a écrit:Salut,
anima, pour ta démo, ce sont uniquement les solutions d'une certaine forme que tu trouves, non ?
Existe il des solutions d'autres formes ?

Tu peux démontrer facilement que toutes les solutions trouvées sont les seules solutions, de la meme facon que tu démontres ca pour le premier ordre.

par **quinto** » 04 Sep 2007, 19:24

En fait c'est pas si facile que ça quand même et ça fait appel à des outils d'algèbre linéaire, comme la notion de déterminant.

par **anima** » 04 Sep 2007, 19:35

quinto a écrit:En fait c'est pas si facile que ça quand même et ça fait appel à des outils d'algèbre linéaire, comme la notion de déterminant.

Appelons le de son propre nom, Wronskien.

par **lapras** » 04 Sep 2007, 19:45

mais je n'ai pas vu le déterminant :(
je peux quand même démontrer que les solutions de cette forme sont les seules solutions possibles ?

par **anima** » 04 Sep 2007, 19:50

lapras a écrit:mais je n'ai pas vu le déterminant
je peux quand même démontrer que les solutions de cette forme sont les seules solutions possibles ?

Tu l'as vu si tu as vu le produit scalaire. Car en fait, ton produit scalaire est un déterminant de deux matrices de 1x3. Preuve en image:

=

...

Or, qu'est-ce qu'un déterminant?

n'est autre que ad - bc pour une matrice carrée 2x2. Pour une matrice 3x2, tu dois faire 3 déterminants. Par contre, le - est la pour faire un triedre direct. C'est comme si t'avais det1(), -det2(), det3(). :ptdr:

par **lapras** » 04 Sep 2007, 19:55

Un triedre directe ?

par **anima** » 04 Sep 2007, 20:01

lapras a écrit:Un triedre directe ?

Je suis désolé, mais la, tu demandes vraiment a voir ce qu'il y a au dos des pull-overs de CHAOS, l'asso étudiante de physique de Bristol.

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