[nombres premiers... ]

[Anonyme]

Bonjour a tous,

J'ai un petit problème avec nos amis les nombres premiers...
Le problème porte sur l'existence de "trous" aussi grands que l'on veut dans l'ensemble des nombres premiers.

1) N est le produit des nombres entiers positifs inferieurs ou égaux à 1000.
Montrons que tous les nombres de la forme : N+2 ; N+3 ; ... ; N+999 ; N+1000 ne peuvent etre premiers.

2) Soit p un entier strictement positif. Par une methode analogue , montrez que l'on peut trouver dans l'ensemble des entiers naturels, un "intervalle" de 10^p entiers consecutifs dont aucun n'est premier.

Voilà... J'ai trouver 2 3 choses pour la premières question sans etre sur de la justification...

Merci de votre aide !

[Chimerade]

Bonjour a tous,

J'ai un petit problème avec nos amis les nombres premiers...
Le problème porte sur l'existence de "trous" aussi grands que l'on veut dans l'ensemble des nombres premiers.

1) N est le produit des nombres entiers positifs inferieurs ou égaux à 1000.
Montrons que tous les nombres de la forme : N+2 ; N+3 ; ... ; N+999 ; N+1000 ne peuvent etre premiers.

2) Soit p un entier strictement positif. Par une methode analogue , montrez que l'on peut trouver dans l'ensemble des entiers naturels, un "intervalle" de 10^p entiers consecutifs dont aucun n'est premier.

Voilà... J'ai trouver 2 3 choses pour la premières question sans etre sur de la justification...

Merci de votre aide !

1) Soit N+k. k<=1000
Si k est premier, k est l'un des facteurs de N et N+k=k*(N/k+1) N+k n'est donc pas premier
Si k n'est pas premier, alors, il a un diviseur premier k' plus petit que k. Donc k' est un facteur de N et N+k=k'*(N/k'+k/k'). N+k n'est donc pas premier

2) C'est plus simple de partir de N=(10^p + 1) !
Alors considérons N+k avec 2<=k<=(10^p+1)
k divise forcément N, donc N+k=k*(N/k+1) N+k est donc un nombre qui n'est pas premier.
Les 10^p nombres N+k avec 2<=k<=(10^p+1) sont tous non premiers !

[Anonyme]

Merci beaucoup !