Titre non conforme - Attention

[Anonyme]

Bonjour tout le monde

j'ai commencé a élaborer une solution mais je n'arrive pas à démontrer que la fonction est forcément positive: :help:

Énoncé
Soit f une fonction réelle telle que pour tous x et y réels f(x + y) = f(x) * f(y)
La fonction f est distincte de la fonction nulle

1) demonter que f(x) > 0 pour tout x réel ?

début de démonstration

soit x un nombre réel alors x= x /2 + x/2
et donc f(x)= f(x /2 + x/2)= f(x/2)*f(x/2) [f(x/2]^2
or un carré est toujours positif ou nul
Si f(x)=0 pour tout x alors f serait la fonction nulle donc
il existe au moins un nombre x tel que f(x)
mais si (f(x) 0 alors f(x/2)0 et f(x/4)0 et f(x/8)0
et f(x/16)0 et f(x/32)0 et f(x/64) et ……
Cependant çà ne démontre pas que la fonction est strictement positive
Car la fonction n’est peut être même pas forcément continue

2) f(0) =1 ?
x = x+0 donc f(x+0) = f(x)*f(0) = f(x)
f(x)*f(0) = f(x) comme pour ce x réel f(x)
on a f(0) = f(x) / f(x) = 1 donc f(0) = 1

est-ce que la fonction ne serait positive que pour x=1,0,5;1/4;1/8;1/16; ...
et nulle pour les autres réels ,???

Merci de votre aide je patine

Amicalement
ab920

[dudumath]

déja, il est impossible que f(x) soit tout le temps strictement négative, sinon
f(x+y)<0
et (f(x)*f(y))>0 donc ce n'est pas possible

De plus, si f s'annule pour un réel x, alors f(x)=0 et ainsi, pour tout y réel

f(x+y)=f(x)*f(y)=0 donc f est la fonction nulle ce qui est omis par hypothèse... donc f(x) > 0 pour tout x réel


Voici pour la 1ere question

[Anonyme]

déja, il est impossible que f(x) soit tout le temps strictement négative, sinon
f(x+y)0 donc ce n'est pas possible

De plus, si f s'annule pour un réel x, alors f(x)=0 et ainsi, pour tout y réel

f(x+y)=f(x)*f(y)=0 donc f est la fonction nulle ce qui est omis par hypothèse... donc f(x) > 0 pour tout x réel


Voici pour la 1ere question

Je n'ai pas encore compris comment il faut mettre le titre. Je vais apprendre.
Merci dudumath pour la réponse