Tétraèdre régulier

[DIPPER]

Bonjour à tous, je suis bloqué sur l'exercice suivant :

1) On considère un tétraèdre régulier abcd.on note I,K,K,L,M et N les milieux respectifs des arrêtes [AB],[AC],[AD],[BC],[BD] et [CD].Démontrer que le quadrilatère JKML est un carré.Quelle la nature du solide IJKMLN ?

[DIPPER]

j'ai seulement réussi à démontrer grâce à thalès qu'on avait JK = JL = JI=Ik je montre ainsi que c'est un losange mais pas un carré

[Ben314]

Salut,
En supposant que ta preuve pour montrer que c'est un losange est correcte, pour montrer qu'en fait c'est un carré, il te suffit (par exemple) de montrer que les diagonales de ton losange ont même longueur.

Sinon, y'a forcément d'autres méthodes. Parmi les plutôt simples qui me viennent à l'esprit, il y en a qui utilise la notion de produit scalaire (toujours utile pour montre qu'il y a des angles droits quelque part...)

[DIPPER]

je sais pas ce qu'est les produits scalaires mais j'ai réussi à montrer que c'est des triangles semblable c'est juste ?

[Ben314]

je sais pas ce qu'est les produits scalaires mais j'ai réussi à montrer que c'est des triangles semblable c'est juste ?

Si tu précise pas de quels triangles tu parle, comment diable veut tu qu'on te dise s'ils sont semblables ou pas...

[pascal16]

jk=jl=mk=ml dit que les 4 cotés sont égaux, mais pas que c'est une figure plane.

mais (KJ)//(ML) (théorème des milieux) assure que j,k,l et m sont dans le même plan.

dans BJM et BKM, tu obtiens aussi une relation entre KL et JM.

et un losange avec deux diagonales identiques....

[DIPPER]

Je ne vois pas de ce quelle relation tu parles en parlant de BJM et BKM
Ben314, je parle du triangle LJK (ou LK est la diagonale et jk et jl deux coté successifs de JKML) et du triangle MJK (ou JM est la seconde diagonale ...)

[DIPPER]

?

[DIPPER]

C'est juste ?

[aviateur]

Bonjour
Oui c'est vrai que tes deux triangles sont semblables (on peut même dire mieux que cela).
Mais c'est quoi ton raisonnement pour arriver à dire que tu as un carré?

[Pseuda]

Bonjour,

On a : (KJ)//(DC) et (KM)//(AB). Pour montrer que KJLM est un carré, comme c'est un losange, il suffit de montrer que (KJ) et (KM) sont orthogonales, ou encore que (AB) et (DC) sont orthogonales.

Si tu as vu la notion de plan médiateur, c''est facile. Sinon, on peut s'en inspirer pour le faire ainsi :

Les points I, C, D sont à égale distance de A et de B. Donc quelle est la position de (IC) par rapport à (AB) ? de (ID) par rapport à (AB) ? (penser à la médiatrice), donc du plan (ICD) par rapport à (AB), et finalement de la droite (DC) par rapport à (AB) ?

[aviateur]

Bonjour,

On a : (KJ)//(DC) et (KM)//(AB). Pour montrer que KJLM est un carré, comme c'est un losange, il suffit de montrer .

Bonjour, je pense qu'avant tout ce n'est pas fait. Il est inutile de brûler les étapes.

[Pseuda]

Bonjour, je pense qu'avant tout ce n'est pas fait. Il est inutile de brûler les étapes.

C'est fait :

j'ai seulement réussi à démontrer grâce à thalès qu'on avait JK = JL = JI=Ik je montre ainsi que c'est un losange mais pas un carré

Cela se montre facilement grâce au théorème des milieux dans les triangles formés par les faces du tétraèdre : JK = 1/2 DC, JL = 1/2 AB, etc ... et comme le tétraèdre est régulier ...

[aviateur]

C'est un peu compliqué car tout est parsemé. Mais il me semble bien que ce n'est pas fait.
JK = JL = JI=Ik ne démontre pas que c'est un losange. A moins que la définition de losange ait changé.
Par ailleurs je remarque maintenant que @pascal16 a déjà fait la même remarque. Et puis @Depper dans les message à suivre ne me semble pas avoir évolué sur cette remarque. J'ai un doute finalement si il a avancé sur quoique ce soit.

[Pseuda]

C'est un peu compliqué car tout est parsemé. Mais il me semble bien que ce n'est pas fait.
JK = JL = JI=Ik ne démontre pas que c'est un losange. A moins que la définition de losange ait changé.

Mais si, un losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur. On démontre que du coup, il a un centre de symétrie et que c'est un parallélogramme.

Si tu préfères, il a plusieurs définitions, bien entendu elles sont toutes équivalentes. Tu avais peut-être en tête une autre définition ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Losange

[aviateur]

@pseuda ce n'est pas en me donnant un lien qcq que je vais être convaincu.
Ce que je veux dire c'est que 4 points dans l'espace formant une figure à 4 côtés, chaque côté ayant la même longueur, n'est pas forcément un losange. A moins qu'on laisse écrire sur wikipédia n'importe quoi ou que les temps ont changé, il en faut plus pour démontrer qu'on a un losange.

[Pseuda]

@aviateur, tu as tendance à parler un peu par énigmes.

Oui, c'est tellement évident que je n'ai même pas fait attention que le demandeur ne l'avait pas précisé, et ce n'était pas sa question.

Les côtés opposés sont évidemment parallèles 2 à 2 car parallèles à une arête du tétraèdre. Ils sont donc contenus dans un même plan.

@pascal avait en effet fait la même remarque. Cela m'apprendra à lire les messages en diagonale.