DM TS tétraèdre régulier

[flo87]

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai un devoir maison à faire pendant les vacances, voici l'énoncé :
ABCD est un tétraèdre régulier de côté 1. I est le milieu de [AB] et D' est le centre de gravité du triangle ABC. On appelle médianes du tétraèdre ABCD les droites qui relient chaque sommet au centre de gravité de la face opposée.
Dans la première partie j'ai montré que chaque médiane du tétraèdre est orthogonale à sa face opposée.
Dans la deuxième partie, j'ai montré que les médianes étaient concourantes en un point G et que le vecteur C'D' = 1/3 du vecteur DC (avec C' le centre de gravité du triangle ABD).
Il faut ensuite, à partir de cette relation, démontrer que le vecteur GD' = 1/3 du vecteur DG
C'est ici que je suis bloqué car j'ai beau décomposé le vecteur GD' dans tous les sens avec la relation de Chasles, je n'arrive pas à l'exprimer en fonction du vecteur DG.
Merci de me donner quelques indications pour me mettre sur la voie ;)

[guiguipelloq]

Es-tu sûr d'avoir la relation C'D'=DC/3 , avec C'D' et DC les vecteurs (notation avec une flèche au-dessus) ? Cela impliquerait qu'ils seraient colinéaires.

[flo87]

Oui, c'est bien ça. C'D' a bien l'air colinéaire avec DC.

[guiguipelloq]

Il en a peut-être l'air, mais alors comment expliques-tu qu'ils le soient alors qu'il sont dans deux plans différents (non parallèles) : les faces ABD et CBD ?

[flo87]

C'D' n'est pas dans (ABD) car seul C' appartient à ABD, en effet, D' appartient à ABC.

[flo87]

Je viens de faire rapidement le dessin sur paint, si vous voulez je peux vous l'envoyer par mail pour que vous visualisiez mieux ;)

[guiguipelloq]

Désolé, j'ai dû mal lire, mais je pensais qu'on parlait de C'D et pas C'D', enfin bon, tu as bien raison sur ta relation, y'a pas de souci. Pour m'excuser je vais essayer de nous sortir de là maintenant.

En me représentant le tétraèdre (pas besoin de dessin d'ailleurs, merci) il me semble claire qu'on a GD'=DG (vecteurs), étant donné que D, G et D' sont alignés par définition de D' et que le tétraèdre est régulier ce qui implique que G est le milieu de [DD']. Dites-moi si je fais encore une erreur.

[flo87]

D, G et D' sont bien alignés mais DG n'est pas égal à GD' puisque d'après l'énoncé, il faut montrer que GD' = 1/3 DG (vecteurs) et en plus cela se voit nettement sur la figure.

[jeje8775]

Monsieur faucher va pas être content :)