[termS) spécialité

[Anonyme]

Tout d'abort bonne année, et merci d'avance pour votre aide!!
J'ai réussi la première question qui était:
determiner les couples (x;y) tel que x-9y=13

après l'application du Th. de Gauss, je trouve
x=9k+22 (k réel)
et y=k+1

2. DEterminer tous les couples (a;b) d'entiers naturels qui verifient la
relation PPCM(a;b)-9 PGCD(a;b)=13
on reconnait donc pour x=PPCM(a;b)
et y= PGCD(a;b)
donc PGCD(a;b)=k+1
et PPCM(a;b)=9k+22

on sait que PGCD(a;b).PPCM(a;b)=ab

on pose a=a'PGCD(a;b)
et b=b'PGCD(a;b)
on a donc PPCM(a;b)=a'b' PGCD(a;b)
soit 9k+22=a'b' (k+1)
donc il faut que k+1 divise 9k+22

j'ai l'impréssion que je suis parti dans la bonne direction même si pour
l'instant je ne vois pas par ou continuer!!
Merci de votre aide et bonne soirée
Marie

[Anonyme]

ndl wrote:
> Tout d'abort bonne année, et merci d'avance pour votre aide!!
> J'ai réussi la première question qui était:
> determiner les couples (x;y) tel que x-9y=13
>
> après l'application du Th. de Gauss, je trouve
> x=9k+22 (k réel)
> et y=k+1

Tu appliques le théorème de Gauss sur les réels ?!?!?!?!
Même pour les entiers tu n'en as pas besoin :

a. si x - 9y = 13 alors x = 9y + 13.

b. pour tout y, le couple (9y + 13, y) convient.

> 2. DEterminer tous les couples (a;b) d'entiers naturels qui verifient la
> relation PPCM(a;b)-9 PGCD(a;b)=13
> on reconnait donc pour x=PPCM(a;b)
> et y= PGCD(a;b)
> donc PGCD(a;b)=k+1
> et PPCM(a;b)=9k+22
>
> on sait que PGCD(a;b).PPCM(a;b)=ab
>
> on pose a=a'PGCD(a;b)
> et b=b'PGCD(a;b)
> on a donc PPCM(a;b)=a'b' PGCD(a;b)
> soit 9k+22=a'b' (k+1)
> donc il faut que k+1 divise 9k+22

> j'ai l'impréssion que je suis parti dans la bonne direction

oui

> même si pour
> l'instant je ne vois pas par ou continuer!!

On aurait gagné à prendre k et 9 k + 13 au lieu de k + 1 et 9k + 22,
mais soit...

Si k + 1 divise 9k + 22, il divise donc aussi 9k + 22 - n*(k+1).

Comment choisir n au mieux ?

Quelle divisibilité obtient-on ?

Finalement, quelles sont les seules valeurs possibles de k + 1 ?

> Merci de votre aide et bonne soirée

Bon courage

Hib.