Voila, je suis cette année en terminale S, et je viens de terminer le chapitre sur les nombres complexes, qui est pour moi - comme l'indique son nom - un petit peu "flou" (je comprend, mais j'ai encore quelques difficultés pour appliquer).
Mon prof de maths m'a donné un DM (comme c'est gentil...lol), et il y a quelques questions que je n'arrive pas à faire.
Voici l'ennoncé :
I]Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O,u(vecteur),v(vecteur))
On désigne par A le point d'affixe i.
A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par :
[CENTER]z' = z²/(i-z) [/CENTER]
1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'
2. Etant donné un complexe z distinct de i, on pose z = x+iy et z' = x'+iy' avec x, y, x', y' réels.
Montrer que :
[CENTER]x' = (-x(x²+y²-2y)/(x²+(1-y)²)[/CENTER]
En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs.
3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M' soient situés sur un cercle de centre O.
II] Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (O , e1(vecteur) , e2(vecteur)).
1. On considère, dans C (ensemble des nombres complexes), l'équation suivante :
[CENTER](E): z^3-8z²+24z-32 = 0[/CENTER]
a) Vérifier que zo = 4 est une solution de (E). Déterminer trois réels a,b et c tels que (E) s'écrive :
[CENTER](E): (z-4)(az²+bz+c) = 0[/CENTER]
b) Résoudre l'équation (E). On notera z1 sa solution ayant une partie imaginaire positive et z2 sa solution ayant une partie imaginaire négative.
c) Démontrer que les images respectives Mo, M1 et M2 de zo, z1 et z2 sont sur le cercle C de centre G d'affixe H=2 et de rayon R=2. Illustrer.
2. On considère la transformation f du plan qui à tout point M(z), distinct de O, associe le point M'(z') tel que :
[CENTER]z' = 1/zbarre (nombre conjugué de z)[/CENTER]
a) Déterminer l'ensemble des points M invariants par f.
b) Démontrer que, pour tout point M distinct de O, les points O, M et M' sont alignés et que OM * OM' = 1
Voici maintenant les réponses que j'ai trouvée :
I]Je bloque à la question 1, et je pense que les questions qui suivent en découle, donc je n'ai rien trouvé pour cet exercice !
II]1.a)Pour prouver que zo=4 est solution de (E), il suffit de remplacer Z par 4 dans (E). Ensuite, on trouve a=1, b=-4 et c=8.
b) On trouve : zo=4, z1=2+2i et z2=2-2i.
2. Je n'ai pas compris ces questions.
Merci d'avance pour toutes vos réponses.