Suite et Géométrie dans l'espace TermS

[LaylaManga]

Bonjour,
Alors voilà j'ai un petit souci avec 2 exercices:
Suites:
La suite Un est définie par U0=-2 et pour tout entier naturel n, Un+1=2/3Un-1.
1) Calculer les premiers termes de la suite, quels conjectures pouvez-vous faire?
2) On note alpha la limite supposé de Un et o'n considère que Vn est définie par Vn=Un-alpha
a) Calculer les valeurs exactes des 3 premiers termes de Vn
b) Démontrer que Vn est géométrique
c) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
3) En déduire la limite de Un
4) Sn est la suite définie par Sn=U0+U1+....+Un
a) Exprimer SN en fonction de n
b) en déduire la limite de SN

Je suis bloqué à partir de la 2)c/ j'ai trouvé que Vn=(2/3)^n X 1(=V0)
Mais pour Un j'ai un petit souci... Je trouve bien (2/3)^n -3 mais je n'arrive pas à trouver son expression....

2e exercice ( Géométrie dans l'espace): QCM
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG]
1) Le triangle IFJ est:
a isocèle, b équilatéral ou c rectangle isocèle
Perso je penche sur le C mais il faut justifier à chaque fois les réponses et c'est la le soucis ^^'
2) la section du cube est:
a un parallélogramme, b un trapèze ou c un quadrilatère quelconque
3) Le plan (IFJ) coupe la droite BC en K.
a c'est le milieu de BK , b 2BK=3BC ou c BK=3BC
4) Le plan IFJ coupe le segment DC en L.
a 5CL=CD, b 6CL=CD ou c 4DL=3DC

Mes soucis sont que pour les suites, je suis bloqué à partir du 2c et pour la géométrie dans l'espace ce sont les justifications, en fait certains trucs on le voit sur le dessin mais pour prouver que c'est ça bah... Soucis!

Merci bien de vouloir m'aider sur ces exercices! ^^

[siger]

Bonjour

par pitié pour les lecteurs: deux tiers de x s'ecrivent (2/3)x et non 2/3x = 2/(3x)!
et on utilise les parentheses a bon escient : U(n+1) et non U(n) + 1....
que signifie U(n+1) = 2/3Un-1
soit = (2/3) U(n-1)
soit = (2/3)U(n)-1 ?


comment as-tu trouvé V(n) = (2/3)^n ?

cube

1/reponse a
isocele
si a est le coté du cube
IF² = IB² +BF² = a² + a²/4
JF² = JG² + FG² = a²+a²/4
JF² = IB² +BJ² = IB² + (BC² + CJ²) = a²/4+ a²+a²/4
2/reponse b
le plan IFJ coupe le cube selon deux plans paralleles ABFE et CDHG
donc les cotes dans ces plans sont paralleles
3/reponse a
K intersection de BC et FJ
d'ou BK/BC= FB/JC = 2
4/reponse c
L est sur la parallele a FI passant par J, a l'intersection de DC et de IK
donc CL = CD/4

[tototo]

Bonjour,
Alors voilà j'ai un petit souci avec 2 exercices:
Suites:
La suite Un est définie par U0=-2 et pour tout entier naturel n, Un+1=2/3Un-1.
1) Calculer les premiers termes de la suite, quels conjectures pouvez-vous faire?
2) On note alpha la limite supposé de Un et o'n considère que Vn est définie par Vn=Un-alpha
a) Calculer les valeurs exactes des 3 premiers termes de Vn
b) Démontrer que Vn est géométrique
c) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
3) En déduire la limite de Un
4) Sn est la suite définie par Sn=U0+U1+....+Un
a) Exprimer SN en fonction de n
-2(1-(2/3)^n)/(1/3)=-6(1-(2/3)^(n+1))
b) en déduire la limite de SN
Sn tend vers -6
Je suis bloqué à partir de la 2)c/ j'ai trouvé que Vn=(2/3)^n X 1(=V0)
Mais pour Un j'ai un petit souci... Je trouve bien (2/3)^n -3 mais je n'arrive pas à trouver son expression....

2e exercice ( Géométrie dans l'espace): QCM
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG]
1) Le triangle IFJ est:
a isocèle, b équilatéral ou c rectangle isocèle
Perso je penche sur le C mais il faut justifier à chaque fois les réponses et c'est la le soucis ^^'
2) la section du cube est:
a un parallélogramme, b un trapèze ou c un quadrilatère quelconque
3) Le plan (IFJ) coupe la droite BC en K.
a c'est le milieu de BK , b 2BK=3BC ou c BK=3BC
4) Le plan IFJ coupe le segment DC en L.
a 5CL=CD, b 6CL=CD ou c 4DL=3DC

Mes soucis sont que pour les suites, je suis bloqué à partir du 2c et pour la géométrie dans l'espace ce sont les justifications, en fait certains trucs on le voit sur le dessin mais pour prouver que c'est ça bah... Soucis!

Merci bien de vouloir m'aider sur ces exercices! ^^[/quote]

[tototo]

Bonjour
U1=(2/3)*-2=-4/3

[tototo]

U2=(2/3)*(-4/3)=(-8/9)
U3=(2/3)*(-8/9)=(-16/27)
Un tend vers 0

[tototo]

Sn=premier terme*(1-...)/(1-raison)
r^n tend vers 0 pour r compris ]0;1[

[siger]

Re

si j'ai bien lu on a
U(n+1) = (2/3)Un -1
d'ou mon commentaire sur les parentheses et ma question
et pas U(n+1) = (2/3) U(n) ........

[LaylaManga]

Re

si j'ai bien lu on a
U(n+1) = (2/3)Un -1
d'ou mon commentaire sur les parentheses et ma question
et pas U(n+1) = (2/3) U(n) ........

Euh oui pardon , c'est vrai que j'ai tendance à écrire un peu trop et trop vite ^^'
C'est bien U(n+1)=(2/3)Un -1, ce n'est pas un U(n-1) le "-1" est "décalé" du Un ^^'
Alors juste, pour la géométrie dans l'espace comment vous justifier que 4DL=3DC? J'ai fait ma figure et c'est bien cette réponse mais je vais pas justifier en disant "bah j'ai fait le calcul avec mes mesures prises à la règle..." ^^'

Et pour les suites, j'ai fait:
Pour la 1, j'ai conjecturé que limU(n+1) =-3 et que Un= (2/3)^n -3 ensuite, j'a démontré par récurrence que Un était vrai.
Pour la 2, j'ai remplacer Un par ce que j'ai trouvé, en trouvant V0=1, V1=2/3 et V2=4/9
Pour la b, j'ai fait V(n+1)=U(n+1)-alpha, je trouve V(n+1)= 2/3 Vn donc c'est géométrique, j'ai aussi mis pour la justification que c'était une suite arithmetico-geometrique et que b=0 d'où Vn= (2/3)^n est que j'ai ensuite fait Vn=(2/3)^n X 1 (=VO)
Et c'est la que je suis resté bloqué, donc si je peux avoir plus de précision sur les questions où je pêche ^^' merci!

[siger]

re

4DL =3DC
ou CL = CD/4
Les deux points I et K sont dans le plan IJF et les deux droites BK et IK sont dans IBJ
on a BK = 2 CK et AB est parallele a CD
d'ou (Thales) CL = IB /2 AB/4)CD/4

Suites
on trouve V(n+1) = (2/3)*V(n) -(alpha/3 + 1)
V(n) est bien une suite geometrique si alpha=-3
ensuite
U(n) = v(N)+alpha = (2/3)^n -3 (on verifie que U0=-2...)
....
Sn = -2+(2/3)-3+(2/3)²-3+....+(2/3)^n-3
= -2 + 3n + S
S = somme de la serie de raison 2/3
.....

[LaylaManga]

re

4DL =3DC
ou CL = CD/4
Le plan IJB est materialisé par deux droites BK et IK
on a BK = 2 CK et AB est parallele a CD
d'ou (Thales) CL = IB /2 AB/4)CD/4

Suites
on trouve V(n+1) = (2/3)*V(n) -(alpha/3 + 1)
V(n) est bien une suite geometrique si alpha=-3
ensuite
U(n) = v(N)+alpha = (2/3)^n -3 (on verifie que U0=-2...)
....
Sn = -2+(2/3)-3+(2/3)²-3+....+(2/3)^n-3
= -2 + 3n + S
S = somme de la serie de raison 2/3
.....

Perso je trouve V(n+1)=2/3 X (2/3)^n -2-1+3
V(n+1)=2/3 X (2/3)^n -3+3
V(n+1)=2/3Vn
Ensuite, pour Un je trouve bien (2/3)^n -3 mais ça veut dire que ma récurrence je dois la mettre à cette question? Car j'avais conjecturée ceci mais dès le début pour que je puisse faire la question 2 après .... Et pour Sn je comprend toujours pas... Il faut une conjecture ?

[siger]

Re

la difference des deux raisonnements tient au fait que tu suppose (suite a la conjecture) des le depart, que alpha = -3

de quelle recurrence parles-tu? il n'y a pas de recurrence a faire intervenir.....
un raisonnement par recurrence permet de montrer qu'une proprieté valable au rang n et aussi valable au rang n+1....
ici
tu connais U(n+1) en fonction de U(n)
puis tu calcules V(n) = (2/3)^n
ce qui te donne u(n) = ((2/3)^n) -3

ensuite Sn = -2+(2/3)-3+(2/3)²-3 + ... + (2/3)^n-3
= -2 - 3*n + (2/3) + (2/3 )² +.....+ (2/3)^n = -2 - 3n + S
avec S = somme de n termes en progression geometrique de raison 2/3 = (1-(2/3)^(n+1))/ (1-(2/3)) = 3*(1-(2/3)^(n+1))
......

[LaylaManga]

Re

la difference des deux raisonnements tient au fait que tu suppose (suite a la conjecture) des le depart, que alpha = -3

de quelle recurrence parles-tu? il n'y a pas de recurrence a faire intervenir.....
un raisonnement par recurrence permet de montrer qu'une proprieté valable au rang n et aussi valable au rang n+1....
ici
tu connais U(n+1) en fonction de U(n)
puis tu calcules V(n) = (2/3)^n
ce qui te donne u(n) = ((2/3)^n) -3

ensuite Sn = -2+(2/3)-3+(2/3)²-3 + ... + (2/3)^n-3
= -2 - 3*n + (2/3) + (2/3 )² +.....+ (2/3)^n = -2 - 3n + S
avec S = somme de n termes en progression geometrique de raison 2/3 = (1-(2/3)^(n+1))/ (1-(2/3)) = 3*(1-(2/3)^(n+1))
......

La récurrence que je parle c'est que a la 1 j'ai démontrer par récurrence que Un=(2/3)^n-3 pour pouvoir faire la 2 ensuite, car pour moi il n'y avait pas d'autres moyens.. donc ca veut dire que Un=(2/3)^n -3 serait l'expression selon n? Et je crois avoir compris pour Sn merci ^^

[siger]

re

je ne comprends pas bien.....si tu as demontre par recurrence que U(n) =((2/3)^n) - 3 ....
1 d'ou vient le 3?
2. pourquoi passer par V(n) pour calculer finalement U(n) si tu connais son expression depuis le début ?

en general quand on a affaire a une suite arithmetico- geometrique A on ajoute a la suite un terme generalement constant pour que la nouvelle suite B soit géométrique et la calculer, puis obtenir A a partir de B ...