J'aimerais un peu d'aide pour mon DM, je n'y arrive vraiment pas...
Voici l'énoncé :
On considère la fonction numérique f définie sur R par :
f(x) = x²e(x-1) - x²/2
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.
CONJECTURES
A l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez vous faire concernant
1. le sens de variation de f sur [-3;2] ?
2. la position de la courbe par rapport à l'axe ( x'x)
Dans la suite de ce probleme, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les completer.
Partie A - Controle de la premiere conjecture
1. Calculer f'(x) pour tout reel x, et exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction definie sur par g(x)=(x+2)e(x-1) - 1.
2. Etude du signe de g(x) pour x reel.
a) calculer les limites de g(x) quand x tend vers +infini puis aund x tend vers -infini.
b) Calculer g'(x) et étudier son signe suivant les valeur de x.
c) en deduire le sens de variation de g, puis dresser son tableau de variation.
d) montrer que l'équation g(x)=0 possède une unique solution dans R. On note cette solution alpha. Montrer que: 0.20<alpha<0.21
e) determiner le signe de g(x) suivant les valeur de x.
3. sens de variation de la fonction f sur
a) etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f'(x)
b) en deduire le sens de variation de f
c) que pensez vous de votre premiere conjecture ?
Partie B - Controle de la deuxième conjecture
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O;i;j). On se propose de controler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).
1. Montrer que f(alpha)= (-alpha)/2(alpha+2)
2. On considère la fonction h définir sur l'intervalle [0;1] par :
h(x)= (-x^3)/2(x+2)
a) calculer h'(x) pour x appartient à l'intervalle [0;1] puis déterminer le sens de variation de h sur cet intervalle.
b) en déduire un encadrement de f(alpha).
3.
a) déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).
b) préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.
c) que pensez vous de votre deuxième conjecture ?
Partie C - Tracé de la courbe
Comtpe tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie T de C correspondant à l'intervalle [-0.2;0.4] dans le repère orthogonal (O;i;j) avec les unités suivantes :
Sur l'axe (x'x) 1cm représentera 0.005
Sur l'axe (y'y) 1cm représentera 0.001
1. Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n.10^-4 (n entier relatif).
x -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
f(x)
2. Tracer alors T dans le repère choisi.
MES RECHERCHES
Conjecture
f(x) strictement croissante sur [-3;2]
f(x) au dessous de (x'x) sur [-3;0[ et au dessus sur ]0;2]
Partie A
1) Je trouve f'(x)= 2xe(x-1) + x²e(x-1) - 2x
Mais je n'arrive pas à trouver le rapport avec g même en factorisant.
2) a) J'ai trouvé lim en +infini = +infini et lim en -infini = -1
b) J'ai trouvé g'(x)=(x+3)e(x-1)
c) Je pense qu'elle est croissante mais comment l'expliquer ?
Ensuite, je n'arrive pas à faire le tableau de signe...
d) Ici je suppose qu'on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, je me débrouillerais.
e) Je n'ai pas encore réussi.
LE RESTE DE MES RECHERCHES QUAND J'AURAIS CHERCHE LA SUITE.