DM TermS : Somme de 1/k^2

[Polo73]

Bonjour à tous, normalement j'arrive à toujours me débrouiller pour les DM en solo mais là j'ai besoin d'un petit coup de pouce. Je bloque à la question 4. mais même en cherchant sur internet et seul sur mes dizaines de feuilles à la poubelle maintenant, je ne trouve pas...

Voilà que j'ai un DM à faire pour demain sur les suites:
soit Un = (somme)1/k² avec k allant de 1 à n (n>1)

1. calculer les 500 premier termes. Conjecturer.
facile, conjecture: croissante et convergente en 2

2. justifier qu Un est strictement croissante
Un+1-Un
Un+1=Un+1/(n+1)²
d'ou Un+1-Un=1/(n+1)²>0 donc croissante

3.il faut prouver que pour k=>2, 1/k²k²-k
donc 1/k²1 on a: Un<=2-(1/n)
Je sais faire une démonstration par récurrence mais là je suis perdu. Et je suppose qu'il faut se servir de ce qu'on a démontré en 3. mais je ne vois pas comment. Sur d'autre forum ils trouvent Un<=1-(1/n) quand Un est privé de U1 et en découle au résultat mais je ne vois pas comment ils font pour trouver Un<=1-(1/n) ...

5. En déduire que la suite est convergente
Je vais pouvoir me débrouiller si je sais la réponse à la 4. qui me pose problème

Si quelqu'un pouvait m'aider pour cette question 4 ce serait parfait. Merci à tous

[zygomatique]

salut





....

[Polo73]

Merci beaucoup pour ta réponse rapide et efficace. J'ai réussi à terminer le DM et je comprends mieux.
Encore merci