DM Terminale S suites et nombres complexes

[Warifen]

Bonjour je bloque sur cette question de mon DM de mathématiques niveau terminale S.
xn désigne les nombres complexes définis pour tout entier naturel. x0 est différent de 0 et 1.
xn+1=1-1/xn
Pour tout complexe quelconque x0, x3n=x0
Déterminez x2020 dans le cas où x0=-i.

[aviateur]

un indice s'écrit x_1 (ou encore X_{12}) et tu mets ça entre 2 balises tex . Au moins on lira + facilement ta question.

Pour t'aider comme indication on trouve

[capitaine nuggets]

Salut !

Tu sais que lorsque l'indice de est multiple de alors .
En montrant que peut s'écrire , avec entier (on fait donc une division euclidienne), tu as donc d'après la relation de récurrence liant à :



Or si alors donc est un multiple de donc et par conséquent

Commentaire : Dans cet exercice on sait ce qu'il se passe pour les termes d'indices multiples de , c'est-à-dire s'écrivant sous la forme , avec entier. Mais on ne sait à priori rien sur les termes d'indices de la formes ou . Néanmoins, on a une relation entre les termes et d'indices successifs et : . Donc si on connait la valeur de lorsque , on peut alors trouver la valeur de , et donc aussi celle de . L'astuce consiste à prendre un indice n dont on connait la valeur de (ici un multiple de ) le plus proche si possible de l'indice du terme recherché (ici ).