[Résolu] tangentes en un point

[haricot29]

Bonjour
Je bloque sur la derniere question de cet exo... Si quelqu'un pouvait m'aider Merci d'avance !!

Exercice
On considère la fonction f définie sur [0, pi] par f(x) = e^;)cos x.
On note Cf sa courbe représentative dans un repére (O, I, J) du plan.
Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de tangentes à Cf passant par l’origine O du repère.

1) a) Déterminer l’équation de la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a de [0, pi].
b) Montrer que Ta passe par O si et seulement si a*sin a = 1.

2) Soit la fonction V définie sur ]0, pi] par V(x) = sin x 1/x
a) Etudier les variations de V' sur ]0, pi].
b) En déduire que la fonction V admet un maximum absolu M qu’elle atteint en
un unique x0 de l’intervalle ]0, pi].
c) Calculer V'(pi/2) et en déduire la position de pi/2 par rapport à x0.
d) Calculer V(pi/2) et en déduire le signe de M.

3) A l’aide des questions précédentes, déterminer le nombre de tangentes à Cf qui passent par O.

[haricot29]

1)a)
y = sin(a) *e^(-cos(a)) * (x-a) + e^(-cos(a))
y=e^(-cos(a)) * [(sin(a)*(x-a)) +1]

1)b)
0=e^(-cos(a)) * [(sin(a)*(x-a)) +1]
0=a*sin(a)+1
1=a+sin(a)

2)a)
V'(x) = cos(x) + 1/xw²
V''(x) = -(x^3*sin(x)+2)/x^3
tableau de variation : V'(x) strict décroiss sur ]0;pi]

2)b)
la fonction V est strict croissante pour tout x jusqu'a x0 dans ]0:pi] alors V(x) 0 et sur ]x0;pi] V'(x) 0 ; pi/2 situé dans ]0:x0] soit avant x0.

2)d)
V(pi/2) = (pi-2)/pi
Le signe de M est positif.

3)
???

[math*]

1) a c'est bon.
b. je pense que tu as compris mais tu as fait 2 3 ptites erreurs :

0=e^(-cos(a)) * [(sin(a)*(x-a)) +1]
0=a*sin(a)+1
1=a+sin(a)

x=0 et y=0 donc le x que tu as mis à la première ligne ne convient pas (parce que tu as déjà remplacer y par 0.
Ensuite exp est toujours positif donc 1+sina(-a)=0
-a.sina+1=0 donc a.sina=1

Je vais regarder la suite.

[math*]

2) a c'est bon V'(pi/2) ok.
mais le problème c'est que pour le suite il faut que je fasse le tab de variation et puis là euh.. enfin voilà ! :++:
Peut-être tout à l'heure j'aurai le temps.
P.S : pour la 3) regarde bien normalement il doit y avoir un truc ds tes tabs de var nan ? (je sais pas je dis ça comme ça puisque je les ai pas fait donc..)

[haricot29]

je suis désole je dois y aller mais je reviens en fin d'aprem... SI quelqu'un a des propositions...

[crassus]

pour faire vite : tu as mis en évidence que Ta passait par 0signifie que a sina =1 ce que tu peux traduire par V(a) = 0 ..

l'étude des variations de V et le signe de M ainsi que celui de V(0) et de V (pi)

doivent te permettre de determiner combien de fois V s'annule sur [0;pi] ...donc combien de valeurs de a ...donc combien de Ta ...

[haricot29]

euh a vrai dire je ne comprend pas trop mais...
V s'annule 2 fois sur l'intervalle ]0;pi]
V' s'annule 1 fois
M est positif
lim V(x) = -infini qd x tend vers 0
V(pi) est négatif

comment avec ceci je peux déterminer le nombre de tangentes
quand je rentre la formule xsin(x) dans ma calculatrice sur l'intervalle ]0;pi] il y a deux solutions = a 1 cela veutil dire qu'il y a 2 tangentes ?
comment l'expliquer ?

[haricot29]

est ce que quelqu'un aurait une idée ? :id:

[crassus]

la fonction V croit de -infini à M sur [0;x0] puis decroit de M à -1/pi sur [x0;pi] celà suffit grace au théoreme de bijection appliqué sur les 2 intervalles à montrer que V s'annule deux fois sur [0;pi] or V(x) =0 signifie que xsinx=1

On rappelle que Ta passe par l'origine signifie que asina=1 donc que V(a) =0

il y'a donc deux tangentes qui passent par l'origine sur [0;pi] deux tangentes au points d'abscisses les solutions de V(a) = 0 ...

[haricot29]

la fonction V croit de -infini à M sur [0;x0] puis decroit de M à -1/pi sur [x0;pi] celà suffit grace au théoreme de bijection appliqué sur les 2 intervalles à montrer que V s'annule deux fois sur [0;pi] or V(x) =0 signifie que xsinx=1

On rappelle que Ta passe par l'origine signifie que asina=1 donc que V(a) =0

il y'a donc deux tangentes qui passent par l'origine sur [0;pi] deux tangentes au points d'abscisses les solutions de V(a) = 0 ...

qu'est ce que le theoreme de bijection ?
tu mets que V décroit de M à -1/pi mais d'ou sort -1/pi ???

[crassus]

qu'est ce que le theoreme de bijection ?
tu mets que V décroit de M à -1/pi mais d'ou sort -1/pi ???

-1/pi = V(pi)

le theoreme de bijection si f est derivable (suffisant , non necessaire) strictement monotone sur ]a;b] alors elle prend une fois seulement toute valeur de l'intervalle image ...

sur ]0;x0] l'intervalle image est ]-infini;M] 0 est contenu dedans

sur ]x0;pi] c'est [-1/pi;M[ 0 est contenu dedans

[haricot29]

Merci beaucoup pour votre aide a tous ! C'est bon exo bouclé ! :++: :++: :++: